Question

求二重积分，题如图，求解答谢谢

Answer 1

　　解：分享一种解法。
　　设y=[(1+x^2)^(1/2)]tanθ，则0≤θ≤arctan[(1+x^2)^(-1/2]，
　　∴原式=∫(0,1)[dx/(1+x^2)]∫(0,arctan[(1+x^2)^(-1/2])cosθdθ=∫(0,1)dx/[(1+x^2)(2+x^2)^(1/2]，
　　再设x=√2tanθ，则∫(0,1)dx/[(1+x^2)(2+x^2)^(1/2]=∫[0,arctan(1/√2)]cosθdθ/[1+(sinθ)^2]=arctan(sinθ)丨(θ=0,arctan(1/√2))=arctan[(√3)/3]=π/6。
　　供参考。

追问

你这个比答案还难看懂

没看懂

追答

　　答案对吗？其实，就是两次换元过程：先设y=[(1+x^2)^(1/2)]tanθ、再设x=√2tanα。供参考。

追问

答案是对的

一般很少这样换元的

一般看到x^2+y^2会想到极坐标

你的换元是不是有点复杂啊

追答

　　本题是可以用极坐标换元的，但涉及到0到π/4、π/4到π/2的分段计算，“劳动量”不一定小。
　　解答采用的方法，只是对y积分时，视“x”为常数的常规处理而已【另外，具体用什么换元术，要看问题的条件而定，所谓“杀猪杀屁股——各有各的刀法”】。
　　供参考。