Question

帮忙求一个定积分 ∫(cosx)^3/(sinx+cosx)dx 在0到2∏上的积分

帮忙求一个定积分
∫(cosx)^3/(sinx+cosx)dx
在0到2∏上的积分

Answer 1

可以不转化成有理函数积分
(cosx)^3/(sinx+cosx)=[(cosx)^2(cosx+sinx)]/(sinx+cosx)-(cosx)^2sinx/(sinx+cosx)
=(cosx)^2-cosxsinx(cosx+sinx)/(sinx+cosx)+cosx(sinx)^2/(sinx+cosx)
=(cosx)^2-sin2x/2+cosx[1-(cosx)^2]/(sinx+cosx)
=(cosx)^2-sin2x/2+cosx/(sinx+cosx)-(cosx)^3/(sinx+cosx)
所以2(cosx)^3/(sinx+cosx)=(cosx)^2-sin2x/2+cosx/(sinx+cosx)
难点只在于cosx/(sinx+cosx)的积分
∫cosx/(sinx+cosx)dx=∫(cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx+∫sinx/(sinx+cosx)dx
=∫d(cosx+sinx)/(cosx+sinx)+∫(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx-∫cosx/(sinx+cosx)dx
=ln|cosx+sinx|+x-∫cosx/(sinx+cosx)dx
所以∫cosx/(sinx+cosx)dx=(ln|cosx+sinx|+x)/2
所以总的积分
2∫(cosx)^3/(sinx+cosx)dx=∫(cosx)^2dx-1/2*∫sin2xdx+∫cosx/(sinx+cosx)dx
=x/2+1/4*sin4x+1/4*cos4x+1/2*ln|cosx+sinx|+x/2+C
∫(cosx)^3/(sinx+cosx)dx=x/2+1/4*sin4x+1/4*ln|cosx+sinx|+C
(0,2π)[x/2+1/4*sin4x+1/4*ln|cosx+sinx|]=π