Question

初三圆的题目 。。。急！！！！！！！！！！！

如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,AD垂直于BC于点D,过点B做⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连结CG并延长于BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交与点P.

(1).求证:BF=EF

(2).求证:PA是⊙O的切线

(3).若FG=BF,且⊙O的半径长为3√2,求BD和FG的长度.

Answer 1

1.连结AB，PA是⊙○的切线，BE⊥BC，
又AD⊥BC，∴AD//EB，
∴EF/AG=CF/CG=BF/DG，
∵AG=DG，∴EF=EB，
2.∵BC是直径，∴∠EAB=∠BAC=90°，
∴AF=EF=BF，过（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠FAB=∠FBA，
∴∠FAO=∠FAB+∠OAB=∠FBA+∠OBA=90°，
∴PA是圆O的切线。

3。由1知道，△BAE为直角三角形，且F为斜边BE中点
所以，EF=AF=BF
已知，FG=BF
所以，令：EF=AF=BF=FG=y，BD=x
那么，CD=BC-BD=6√2-x
则：AB^2=BD*BC=6√2x
AC^2=CD*BC=(6√2-x)*6√2=72-6√2x
AD^2=BD*CD=x(6√2-x)=6√2x-x^2
EC^2=EB^2+BC^2=4y^2+72
因为：CD/CB=DG/BF
所以：(6√2-x)^2/(6√2)^2=(AD/2)^2/y^2
所以：y^2=18x/(6√2-x)……………………………………（1）
又，EA=EC-AC=2√(y^2+18)-√[6√2(6√2-x)]

Answer 2

1)如图，由题设曲AD‖EB，由AG/EF=CG/CF=GD/FB，及AG=GD.便得：EF=FB.

2连AB，则∠BAC＝∠BAE＝90°，Rt△BAE上的中线FA＝BE/2=BF从而∠FAB＝∠ABF.

连OA，又得∠OAB＝∠OBA，由于BE是⊙O的切线，可得 

 ∠OAF＝∠OAB+∠BAF＝∠OBA+∠ABF＝∠OBF＝90°即PA⊥OA于A.

故:PA是⊙O的切线。

3) 若FG＝BF，由2),知FG＝FA，过F作FM⊥AD交AD于M，则M是AG的中点，且AD＝FB.

 从而FB=3GD/2, EB=3AD, 又由AD/EB=CD/CB得CD＝2CB/3=4√2,BD=2√2,

   在Rt△ABC中斜边上的高AD＝√(BD*CD)=4,FG=BF=3AD/4=3.

Answer 3

1)如图，由题设曲AD‖EB，由AG/EF=CG/CF=GD/FB，及AG=GD.便得：EF=FB.
2连AB，则∠BAC＝∠BAE＝90°，Rt△BAE上的中线FA＝BE/2=BF从而∠FAB＝∠ABF.
连OA，又得∠OAB＝∠OBA，由于BE是⊙O的切线，可得
∠OAF＝∠OAB+∠BAF＝∠OBA+∠ABF＝∠OBF＝90°即PA⊥OA于A.
故:PA是⊙O的切线。
3) 若FG＝BF，由2),知FG＝FA，过F作FM⊥AD交AD于M，则M是AG的中点，且AD＝FB.
从而FB=3GD/2, EB=3AD, 又由AD/EB=CD/CB得CD＝2CB/3=4√2,BD=2√2,
在Rt△ABC中斜边上的高AD＝√(BD*CD)=4,FG=BF=3AD/4=3.