Question

如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式

Answer 1

我们知道在离散数学中，有主合取范式与主析取范式的概念。本文分享什么是主合取范式与主析取范式，以及如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式

首先，我们需要了解一下数学概念。
简而言之，
主合取范式，就是若干个极大项的合取（交集）。

主析取范式，就是若干个极小项的析取（并集）。

而所谓的极大项，就是包含全部数目的命题变元的析取表达式
例如：
p∨¬q∨r

所谓的极小项，就是包含全部数目的命题变元的合取表达式
例如：
¬p∧¬q∧r

下面言归正传，我们看如何按步骤求解命题公式的主合取范式与主析取范式。
常用的方法有两种，等值演算法和真值表法
等值演算法，就是按照步骤推导公式，最终得到主合取范式或者主析取范式

下面，我们来举个例子，求出命题公式的主合取范式与主析取范式
(p→¬q)↔r⇔
(¬p∨¬q)↔r⇔ [(¬p∨¬q)→r] ∧ [r→(¬p∨¬q)]⇔ (¬(¬p∨¬q)∨r)∧ (¬r∨¬p∨¬q)⇔
((p∧q)∨r)∧ (¬p∨¬q∨¬r)⇔ (p∨r)∧(q∨r)∧ (¬p∨¬q∨¬r)⇔
[p∨(q∧¬q)∨r]∧[(p∧¬p)∨q∨r]∧ (¬p∨¬q∨¬r)⇔ (p∨q∨r)∧ (p∨¬q∨r)∧ (p∨q∨r)∧
(¬p∨q∨r) ∧ (¬p∨¬q∨¬r)⇔ (p∨q∨r)∧ (p∨¬q∨r)∧(¬p∨q∨r) ∧ (¬p∨¬q∨¬r)得到主合取范式

检查主合取范式中遗漏的4个主项p∨q∨¬r，p∨¬q∨¬r，¬p∨q∨¬r，¬p∨¬q∨r可以反推出它的主析取范式
⇔(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)得到主析取范式

最后，我们看如何使用真值表方法，求命题公式的主合取范式与主析取范式。

9
我们来看这样一个具体例子。
根据真值表，我们取值为0的指派，得到最大项
从而写出最大项的合取，得到主合取范式