Question

高二数学数列题

a_n=2^n-1 证明：1/a_2 +1/a_3 +……+1/a_(n+1) <2/3（n∈N^*）

Answer 1

当n>=3时，an=2^n-1 =4*2^(n-2)-1=3*2^(n-2)+(2^(n-2)-1)>3*2^(n-2),于是
1/a_2 +1/a_3 +……+1/a_(n+1)<1/3+1/7+1/3*(1/4+1/8+...+1/2^(n-1))
<1/3+1/6+1/3*1/4*1/(1-1/2)=2/3

Answer 2

设要证的式子左边为A，再设B=1/a3+1/a4+...+1/a(n+1)，则A=1/(2^2-1)+B=1/3+[1/(2^3-1)+1/(2^4-1)+...+1/(2^(n+1)-1)]<1/3+[1/(2^3-2)+1/(2^4-2)+...+1/(2^(n+1)-2)]=1/3+1/2[1/(2^2-1)+1/(2^3-1)+...+1/(2^n-1)]=1/3+1/2[B+1/(2^2-1)-1/(2^(n+1)-1)]=1/3+1/2[A-1/3+1/3-1/(2^(n+1)-1)]，即有A<1/3+(1/2)A-1/(2^(n+2)-2)<1/3+(1/2)A，所以A<2/3

Answer 3

一般为保证放缩精确性，一般从第二项开始
a<2>=3，等价证明
1/a<3> +……+1/a<n+1> <1/3
(n→∞)lim (1/a<n+1>)/(1/a<n>)=1/2，故级数趋近公比为1/2的等比数列
所以设放缩成的等比级数通项b<n>=b1/2^(n-1)=1/(3*2^n)
b<n>之和S<n>=2b<1>(1-1/2^n)<1/3，取极限lim S<n>=2b<1>=1/3，b<1>=1/6
故只需证明a<n> < b<n-2>（a<n>从第三项开始）
1/(2^n-1)<1/[3*2^(n-2)]，由分析法知显然成立
所以a<n> < 1/[3*2^(n-2)]
1/a<3> +……+1/a<n+1> <1/6+1/12+...+1/[3*2^(n-2)]=1/3*(1-1/2^n)<1/3
即1/a<2>+1/a<3> +……+1/a<n+1> <2/3
证毕

Answer 4

因为 a(n)=2^n-1<2^n-2<2^n-2^(n-1)=2^(n-1)
所以 1/a(n)<1/2^(n-1)
1/a(2) +1/a(3) +……+1/a(n+1) < 1/2+1/4+ ……+1/2^(n)
有等比数列求和得： =1/2[1-(1/2)^(n-2)]/(1-1/2)
=1-(1/2)^(n-2)
<=1/2