Question

椭圆，双曲线，抛物线之间的异同点

Answer 1

（一）整体分析

【单元课程分析】
《圆锥曲线》这一单元研究的对象是图形，常用的方法是坐标法。坐标法在《直线和圆的方程》中已经初步学习过，但在《圆锥曲线》这一单元的应用体现的最突出，所以圆锥曲线一直是平面解析几何的重点内容。
通常我们把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，实质上圆也可以列入到圆锥曲线：其一，圆锥曲线名称来源于用一个平面去截圆锥得到的曲线，当平面垂直于圆锥的轴时，得到的截面是一个圆，如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到椭圆、双曲线、抛物线等；其二，圆、椭圆、双曲线、抛物线这四类曲线对应的方程都是二元二次方程。所以可以说圆锥曲线包括：圆、椭圆、双曲线、抛物线。有时候我们把“椭圆”看作“扁圆”，而“圆”可以看作“焦距为0的椭圆”。当然圆与椭圆是不同的概念，不能将概念混乱。
平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。研究的主要问题是：（1）通过平面曲线研究曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质。所谓平面曲线可以看成是平面内符合某种条件的点的集合（或者轨迹），在高中阶段主要涉及到的曲线有直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中四种曲线都包括在《圆锥曲线》这一单元。
如果曲线上的点的坐标与一个二元方程f（x，y）=0之间建立如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）。可见求曲线的方程与求曲线是不同的，前者只是把几何表示转化为代数形式，后者不但要求出曲线的方程，而且还要指明曲线的类型和主要特征，必要时还要画出图形。
用坐标法求曲线方程的一般方法步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标，简称“建系设点”。
（2）写出适合条件P的点M的集合P={M｜P（M）}，简称“列式”。
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0，简称“坐标化”。
（4）化简方程f（x，y）=0为最简单的形式，简称“化简”。
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，简称“证明”。
这是研究第一类问题的最基本方法，又俗称为“五步法”。特别是在只知道图形或者曲线满足的条件时，首当其冲就是利用“五步法”推导方程。本单元中四种类型的曲线都是利用“五步法”研究推出其对应的方程。由圆锥曲线的定义到求曲线的方程，核心抓住“五步法”，当然方程是建立在直角坐标系的基础上，如何可以得出最简化的方程即标准方程，开始还需要教师多引导、多启发，让学生自主探究。
研究曲线（图形）从研究方程出发，这是解析几何研究的一般方法——坐标法，而方程是建立在直角坐标系的基础上，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但最后得出的性质不因方程的形式而改变。所以为了减轻学生的学习负担，培养提高学生应用知识的能力，教材中仅研究了圆锥曲线的标准方程。当然，至于方程与标准方程之间的关系，以及它们对应图形之间如何实现转化，教师要适当的引导，并配发相应的练习题适当练习，2003年全国高考（江苏、河南）理工卷就涉及此问题：已知常数a>0，向量=（0,a），=（1,0）经过原点O以-为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以-2为方向向量的直线相交于点P，其中∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。
利用方程研究曲线的性质是解析几何另一种重要的研究方法，圆锥曲线的性质，就是通过对圆锥曲线的标准方程的讨论分析，得到它们相应的几何性质。虽然它们的标准方程不同，但有许多“共性”，其分析思路基本上是一致的，当然也有它们的“个性”，如双曲线的渐近线。
直线和圆锥曲线的位置关系是高考的热点。直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。圆和椭圆是封闭性二次曲线，可以直接从二者之间的交点个数，或者二者方程联立后得的一元二次方程的判别式来判断它们的位置关系；双曲线和抛物线也是二次曲线，但不是封闭的，当直线与双曲线渐近线平行时，当直线与抛物线的对称轴平行时，二者仅有一个交点，但二者之间是“相交”，故处理此类问题时，将直线方程和圆锥曲线的方程联立得到方程，必须先考查二次项的系数是否可以为0，若系数一定不为0时，必定是直线与圆、椭圆之间的位置关系，只须利用判别式（△）即可判断，△＞0时相交，△=0相切，△＜0时相离；若二次项的系数可能为0时，必定是直线与双曲线或者抛物线之间的位置关系。当二次项的系数等于0时，此方程为一次方程，方程有一解，曲线仅有一个交点，但二者是相交关系，当二次项系数不为0时，此方程为二次方程，此时仍然借助判别式进行判断，方法同直线和圆、椭圆的位置关系。
本单元从圆到椭圆、双曲线、抛物线，紧紧围绕定义、方程、图形、性质和应用这五部分内容，规律性强，思想方法多，联系面广，特别是现在教材采用了“混编”形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，加强各部分知识的联系。学好《圆锥曲线》更能深刻地理解运动变化的观点和对立统一的辩证规律，进一步体会数形结合的思想。
《圆锥曲线》这一单元的重点是：圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义及其标准方程，几何性质，直线和圆锥曲线的位置关系，这三大部分的每一部分的研究思路几乎都是一致的。课程的这一显著特点对我们安排教学活动时，给予了很大的启示，前面让学生掌握了，后面就可以类比推理，让学生更好的“自主、合作、探究”。本单元的难点是圆锥曲线的标准方程和几何性质的推导，直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用。
【单元学情分析】
开展诱思探究教学以来，学生“自主、合作、探究”的意识基本形成，但仍有部分学生思考问题比较单一，讨论之后仅停留在表面，不能从具体的学习探究中挖掘出规律性知识，不能很好地迁移应用、转化成能力，这应该是教师发挥引导作用着力解决的问题。
圆锥曲线内容较多，对学生的逻辑思维能力、归纳推理能力和运算能力有较高的要求，但本单元知识条理清晰，研究的方法相对单一，只要学生善于归纳总结，学习起来还是比较轻松。不过含有两个根式方程的化简、二元二次方程组求解及多项式的变形化简等能力较薄弱。在学生独立思考的基础上，充分发挥小组“合力”，在重难点处教师适当的引导，可以在课前布置相类似的习题，让学生提前求解，以便铺路搭桥，将难点消化在课前，这样学生在课堂上就一定能顺利完成学习任务。
【单元设计思路】
根据新课程改革的目标，结合诱思探究教学理论和本单元知识体系的特点，本着落实“自主、探究、合作”的基本理念，真正实现以人的发展为本，切实变“教”为“学”，本单元的每一种圆锥曲线的学习探究过程都分三条主线：
1、作实验或者设计画境，让学生体会圆锥曲线满足的条件，从而得到圆锥曲线的定义，然后根据圆锥曲线的定义利用“五步法”推导其标准方程。
2、根据圆锥曲线的标准方程推导圆锥曲线的几何性质，同时对比这几种圆锥曲线的性质，找出“共性”和“个性”。
3、应用圆锥曲线的标准方程和几何性质，解决实际问题，重点突破直线和圆锥曲线的位置关系。
每一种圆锥曲线都围绕这三条主线，结合它们自身的特点，合理地安排，适当的提供导向性信息，抓住重点，突破难点。
在第一条主线中，圆和椭圆可以让学生动手作实验，从运动的观点感知到定点的距离等于定长的轨迹为圆，到两定点的距离等于定值（大于两定点间距离）的点的轨迹为椭圆。双曲线和抛物线可以设计画境：
画双曲线的方法：以两个定点为圆心的同心圆，让它们的半径按照等差数列逐渐递增，让学生找到两个定点的距离之差的绝对值为定值的交点，然后用光滑的曲线连接起来，形成双曲线。