Question

已知关于x的方程2x^2-〔(根号3)+1〕x+m=0的两根为 sin θ，cos θ

1.求sin^2θ/(sinθ-cosθ)+cosθ/(1-tanθ)的值
2求m的值及锐角的θ值

Answer 1

x=(√3+1)/4±√{(√3+1)/4]^2-m/2}
由于sin θ^2+cos θ^2=1
1=2((√3+1)/4)^2+2{(√3+1)/4]^2-m/2}=4[(√3+1)/4]^2-m
m=4[(√3+1)/4]^2-1=√3/2
x=(√3+1)/4±√{1/2-[(√3+1)/4]^2}=(√3+1)/4±(√3-1)/4
则x1=√3/2,x2=1/2
即 θ1=30°, θ2=60°
1）当θ=30°，sinθ=0.5，cosθ=√3/2，tanθ=√3/3
sin^2θ/(sinθ-cosθ)+cosθ/(1-tanθ)=0.5*0.5/[0.5-(√3/2)]+(√3/2)/[1-(√3/3)]=(2-√3)/4
1）当θ=60°，sinθ=√3/2，cosθ=0.5，tanθ=√3
sin^2θ/(sinθ-cosθ)+cosθ/(1-tanθ)=(√3/2)*(√3/2)/[(√3/2)-0.5]+0.5/(1-√3)=-(√3+1)/4

Answer 2

解：2x^2-〔(根号3)+1〕x+m=0的两根为 sin θ，cos θ
则sin θ+cos θ= 〔(根号3)+1〕/2
sin θxcos θ= m/2
1)sin^2θ/(sinθ-cosθ)+cosθ/(1-tanθ)
化简得=sin θ+cos θ=〔(根号3)+1〕/2
2）由sin θ+cos θ= 〔(根号3)+1〕/2
sin^2θ+cos^2θ=1
解得sin θ=(根号3)/2 cos θ= 1/2
或sin θ=1/2 cos θ=(根号3)/2
故 sin θxcos θ= m/2=(根号3)/4
m=(根号3)/2
因为θ为锐角
故θ=30°或60°