Question

从2008，2009，2010，···，2028这些数中，任取两个数，使其和不能写成三个连续自然数的和，则有多少种

Answer 1

两个数其和能写成三个连续自然数的和必须满足这个和是3的倍数，因为n+（n+1）+（n+3）=3n+3=3（n+1）
将2008，2009，2010，···，2028这21个数按除以3的余数不同，将这21个数分成3组

除3余0的有，2010,2013，...，2028共7个
除3余1的有，2009,2012，...，2027也是7个
除3余2的有，2008,2011，...，2026共7个

这里只能挑选其和加起来不能整除3的对即可，也就是挑选0类和1类搭配，或0类和2类搭配，或1类和1类搭配，或2类和2类搭配的组合，总共有
7*7+7*7+7*6/2+7*6/2=140种。

Answer 2

三个连续自然数的和是3的倍数，
∴所取两数的和不是3的倍数，
在2008，2009，2010，···，2028这21个数中，形如3k,3k+1,3k+2(k∈Z)的数各有7个，
3k+(3k+1),3k+(3k+2),2(2k+1),2(3k+2)都不是3的倍数，
∴满足题设的两数有7*14+2c(7,2)=98+7*6=140种。

Answer 3

两个数其和能写成三个连续自然数的和必须满足这个和是3的倍数，因为(X+1)+X+(X-1)=3X
将2008，2009，2010，···，2028这21个数按除以3的余数不同，将这21个数分成3组
除3余0的有，2010,2013，...，2028共7个
除3余1的有，2009,2012，...，2027也是7个
除3余2的有，2008,2011，...，2026共7个
所以只能挑选其和加起来不能整除3的即可，也就是挑选0类和1类搭配，或0类和2类搭配，或1类和1类搭配，或2类和2类搭配的组合，总共有
7*7+7*7+7*6/2+7*6/2=140种。