Question

一道二次函数题

已知抛物线y=a(x-t-1)2+t2 (a,t是常数，a≠0,t≠0)的顶点是A，抛物线y=x2-2x+1的顶点是B.
（1） 判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上，为什么？
（2） 如果抛物线y=a(x-t-1)2+t2经过点B，
① 求a的值；
②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意可知：A点的坐标为（t+1，t^），将A点的坐标代入抛物线y=x^-2x+1中可得：（t+1)^-2（t+1）+1=t^+2t+1-2t-2+1=t^；
因此A点在抛物线y=x2-2x+1上．

（2）①由题意可知：B点坐标为（1，0）．则有：
0=a（1-t-1)^+t^，即at^+t^=0，因此a=-1．
②根据①可知：抛物线的解析式为y=-（x-t-1)^+t^；
当y=0时，-（x-t-1)^+t^=0，解得x=1，x=2t+1
设抛物线与x轴的交点为M，N，那么M点的坐标为（1，0），N点的坐标为（2t+1，0）因此：AM^=t^+t^4，AN^=t^+t^4，MN^=4t^
当△AMN是直角三角形时，AM^+AN^=MN^
即（t^+t^4）×2=4t^
解得t=1，t=-1
因此能构成直角三角形，此时t的值为1或-1．

Answer 2

（1）A(t+1,t^2)的坐标满足y=x^2-2x+1,
∴点A在这抛物线上。
（2）如果抛物线y=a(x-t-1)^2+t2经过点B(1,0),那么
①at^2+t^2=0,a=-1.
②-（x-t-1)^2+t^2=0,
x^2-2(t+1)x+2t+1=0,
x1=1,x2=2t+1.
两个交点是B(1,0),C(2t+1,0),
若角A是直角，则BC^2=AB^2+AC^2,
∴4t^2=2t^2+2t^4,t≠0，
解得t=土1；
若角B是直角，则t+1=1,t=0(舍）；
若角C是直角，则t+1=2t+1,t=0(舍）。
综上，这两个交点和它的顶点A能构成直角三角形，t=土1。