Question

高等数学证明

详细点 谢谢！
详细点把 我对证明就是束手无策

Answer 1

设F(x)=f(x)/e^2x
F(1)=F(0)=0
在（0，1）内由罗尔中值定理有存在ξ∈（0，1）使得F‘（ξ）=0
F’（x）=[f'(x)e^2x-2f(x)e^2x]/e^4x=[f'(x)-2f(x)]/e^2x
所以F'（ξ）=[f'(ξ)-2f(ξ)]/e^2ξ=0
所以存在ξ∈（0，1）使得f'(ξ)-2f(ξ)=0

Answer 2

我告诉你辅助函数吧！你令G(x)=f(x)/e^2x,然后你验证就能得到答案。

Answer 3

不会

Answer 4

设F(x)=f(x)/(2x+1)
F'(x)=[f'(x)(2x+1)-2f(x)]/(2x+1)^2
由罗尔定理三要素，可知存在0<ξ<1，使得f'(ξ)=0
再有F(1)=f(1)/3=0，F(0)=f(0)=0，可知F'(ξ)=0
即F'(ξ)=[f'(ξ)(2ξ+1)-2f(ξ)]/(2ξ+1)^2=0
只能分子为0，即f'(ξ)(2ξ+1)-2f(ξ)=2ξf'(ξ)+f'(ξ)-2f(ξ)
因为2ξf'(ξ)=0
可得f'(ξ)-2f(ξ)=0
1楼的辅助函数非常棒。。。标准答案