Question

已知直线l:y=x-2与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(b>a>0)相交于点A，B 若向量OA*向量OB=0,求实数a的取值范围

Answer 1

设A(x1,y1)、B(x2,y2), 由题设，x1*x2+y1*y2=0①.
由联立方程组：y=x-2 与 x^2/a^2-y^2/b^2=1 分别可得：
(b^2-a^2)*x^2+4a^2*x-4a^2-a^2*b%^2=0
和(b^2-a^2)*y^2+4b^2*y+4b^2-a^2*b^2=0
可得： x1*x2=(4a^2-a^2*b^2)/(b^2-a^2),y1*y2=(4b^2-a^2*b^2)/(b^2-a^2).
代入①，可得：(4a^2-a^2*b^2)/(b^2-a^2)+(4b^2-a^2*b^2)/(b^2-a^2)=0
化简，可得：2/a^2+2/b^2=1, ∵b>a>o,可得 0<a<2 为所求的范围。