Question

设函数f(x)=（2/3）x^3+（1/2）ax^2+x （a属于R）

（1）求函数f（x）的单调区间 （2）若f(x）在（0，正无穷）内为增函数，求a取值范围
a2-8 是怎么出来的？

Answer 1

解（1）f'(x)=2x^2+ax+1
Δ=a^2-8
令Δ=0得a=±2√2
当-2√2<a<2√2时，Δ<0,f'(x)>0,函数在其定义域单增
当a=2√2或者a=-2√2时，Δ=0 ,f'(x)=(√2x±1)^2≥0，f(x)单增
当a>2√2或者a<-2√2时，Δ>0，解f'(x)=0得x=[-a±√(a^2-8)]/4
[-a-√(a^2-8)]/4<x<[-a+√(a^2-8)]/4时，f'(x)<0,f(x)单减，
x>[-a+√(a^2-8)]/4,x<[-a-√(a^2-8)]/4时，f'(x)>0,f(x)单增
（2）-2√2≤a≤2√2

Answer 2

f'(x)=2x^2+ax+1
若a2-8《0 那么在R上递增
a2-8>0 则：
令f'(x)>0 得x>[-a+√(a2-8)]/4或者x<[-a-√(a2-8)]/4 这是增区间
令f'(x)>0得[-a-√(a2-8)]/4<x<[-a+√(a2-8)]/4 这是减区间
(2)

f(x）在（0，正无穷） 所以
[-a+√(a2-8)]/4《0 且a2-8>0
或者a2-8《0这两种情况