Question

一道高一数学函数题，应该不难，希望能快些得到答复

设f(x)在[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且0≤f(x)≤1。证明：至少有一点c∈[0,1]，使f(c)=c。
希望有详细过程，谢谢。
中值定理……是高中的吗？好像是大学的……

Answer 1

因为0≤f(x)≤1，所以
存在x1∈[0,1],使f(x1)=0;
存在x2∈[0,1],使f(x2)=1;
令g(x)=f(x)-x
则
g(x1)=0-x1=-x1<=0
g(x2)=1-x2>=0
根据中值定理，存在c∈[x1,x2],使得g(c)=f(c)-c=0,即f(c)=c

或者
解：
①假设对所有x∈[0,1]，都有f（x）＞x，则
取x=1的时候，有f（1）＞1，与题目中的“0≤f（x）≤1”矛盾！
不符合！
②同样，假设对所有x∈[0,1]，都有f（x）＜x，则
取x=0的时候，有f（0）＜0，与题目中的“0≤f（x）≤1”矛盾！
不符合！

综上，
得知：至少有一点c属于[0,1]使f(c)=c解

Answer 2

参见北大李周版高数课后习题，中值定理即可。