Question

以实数x,y满足x²+y²-4x+1=0 （1）求x÷y的最大值和最小值（2）求y-x的最值（

以实数x,y满足x²+y²-4x+1=0 （1）求x÷y的最大值和最小值（2）求y-x的最值（3）求x²+y²的最值

Answer 1

解：

x²+y²-4x+4=3

x²+(y-2)²=3

设x=√3cosα，y=2+√3sinα

(1)

令x/y=k

k=√3cosα/(2+√3sinα)

整理，得：cosα-ksinα=2k/√3

√(1+k²)cos(α+γ)=2k/√3，(其中，tanγ=k)

cos(α+γ)=(2k/√3)/√(1+k²)

-1≤cos(α+γ)≤1

-1≤(2k/√3)/√(1+k²)≤1

(4k²/3)/(1+k²)≤1

k²≤3

-√3≤k≤√3

-√3≤x/y≤√3

x/y的最大值为√3，最小值为-√3

(2)

y-x=2+√3sinα-√3cosα

=2+√6[(√2/2)sinα-(√2/2)cosα]

=2+√6sin(α- π/4)

-1≤sin(α- π/4)≤1

2-√6≤y≤2+√6

y-x的最大值为2+√6，最小值为2-√6

(3)

x²+y²=(√3cosα)²+(2+√3sinα)²

=3cos²α+3sin²α+4√3sinα+4

=4√3sinα+7

-1≤sinα≤1

7-4√3≤x²+y²≤7+4√3

x²+y²的最大值为7+4√3，最小值为7-4√3