Question

高二数学 椭圆与双曲线检测

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，根2）为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称
（1）求双曲线C的方程（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围

Answer 1

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，√2） 为圆心，1为半径的圆相切，又已知C的一个焦点与A有关直线y=x对称。（1），求双曲线C的方程；
(2)若Q是双曲线C上任一点,F1,F2为双曲线C的左右两个焦点,从F1引角F1QF2的平分线的垂线,求点N的轨迹方程
（3）设直线y=mx+1与曲线C的左支交于A,B两点，另一条直线l经过M(-2,0)及AB中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围
1）
由题意设双曲线C的方程：x^/a^-y^/b^=1
A到渐近线bx±ay=0的
距离
d = 1 =|0±√2a|/√(a^+b^)=√2a/c
一个焦点F(√2,0)
--->c=√2
--->a=1,b=1
--->双曲线方程：x^-y^=1

（3）
设A（x1,y1),B(x2,y2),则
x^2-(mx+1)^2=1,即
(1-m^2)-2mx-1=0
∴x1+x2=2m/(1-m^2),x1x2=-1/(1-m^2)
又A，B两点在直线Y=mX+1上
∴y1+y2=2/(1-m^2)
∴AB的中点为（m/(1-m^2),1/(1-m^2)）
又直线Y=mX+1与双曲线C的 左支交于A，B两点
∴x1+x2=2m/(1-m^2)<0,x1x2=-1/(1-m^2)<0
∴-1<m<0
设过M（-2，0）和AB中点斜率为K，则
过M（-2，0）和AB中点的方程是
y=Kx+2K,直线在Y轴上截距b=2k
∵直线过AB的中点为（m/(1-m^2),1/(1-m^2)）
∴1/(1-m^2)=Km/(1-m^2)+2K
∴2Km^2-Km+1-2K=0
∴K=1/(-m^2+m+2)
∵-1<m<0
∴-m^2+m+2取值是(0,2)
∴K∈(1/2,+∞)
∴所求直线在Y轴上截距b=2K的取值范围是
(1,+∞)