Question

两道高数题，求助！

1，求极限，x趋向于1,（4/π arctanx）1/lnx次方
2，设f(x)在区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，若f'(x)≠0，x∈（a,b），证明f'(x)在（a,b）上不变号

Answer 1

1，分析：原式是1的无穷次方的问题
解：原式=lim<x趋近于1>[1+(4/π arctanx-1)]^[1/(4/π arctanx-1)×(4/π arctanx-1)×(1/lnx)]
=e^[lim<x趋近于1>(4/π arctanx-1)×(1/lnx)]
洛必达法则
=========e^{lim<x趋近于1>[4/π×1/(1+x^2)]/(1/x)}=e^(2/π)
2，假设存在c点，使f'(x)在c点两侧异号，不妨设(a,c)上f'(x)>0,[c,b)上f'(x)<0，则根据导数定义，f'(c-0)>0,f'(c+0)<0,即c点处左导数不等于右导数，导数不存在，这与题意f(x)在（a,b）上可导矛盾，所以不存在c点使导数异号，即f'(x)在（a,b）上不变号