Question

一道高中三角函数

△ABC中,角A、B、C的对应边分别是a,b,c,且满足a^2-ab+b^2=c^2 ，若△ABC的周长为2,求△ABC面积的最大值。

Answer 1

余弦定理：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2。所以C=60°
又：a^2+b^2=c^2+ab>=2ab.等号成立条件a=b
所以c^2>=ab,即，c>=根号ab
又因为，a+b+c=2
所以，2-2根号ab>=2-(a+b)=c>=根号ab
解之，根号ab<=2/3.
则面积S=1/2*absinC=1/2*ab*根号3/2<=根号3/9。
等号成立条件a=b=2/3，从而c=2/3

Answer 2

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2。所以C=60°
面积S=(根号3/4)ab
因为a+b+c=2所以3ab=(a+b)^2-c^2=2(a+b-c)=4(a+b-1)>=4(2根号ab-1)。
解得：根号ab>=2或<=2/3
但若根号ab>=2则a+b>=2*根号ab>=4。矛盾
所以根号ab<=2/3.
S=(根号3/4)ab<=(根号3/4)*4/9=根号3/9。等号在a=b=2/3，从而c=2/3时取得