Question

高中数学（立体几何）

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=√2，P是BC1上一动点，求CP+PA1的最小值

Answer 1

BC=CC1，故矩形BB1C1C是正方形，取BC1中点，
BC1是对角线，则CP⊥BC1，（正方形对角线互相垂直平分），
CC1⊥平面A1B1C1，A1C1∈平面A1B1C1，
CC1⊥A1C1，
〈A1C1B1=90度，即A1C1⊥B1C1，
CC1∩B1C1=C1，
故A1C1⊥平面BB1C1C，
BC1∈平面BB1C1C，
故A1C1⊥BC1，
三角形A1C1P是直角三角形，〈A1C1P=90度，
PC1=(√2/2)BC=1,
根据勾股定理，
A1P=√（A1C1^2+PC1^2)=√37，
A1C1∩PC=C1，
故BC1⊥平面A1PC，
A1和C点至BC1都是垂直距离，为最短，
CP+A1P=1+√37。

Answer 2

过C做BC1的垂线CO，交BC1于O点 。设OP=X(X=0至1闭区间.CO=1。所以CP=根号(OP^2+CO^2).CP=根号(X^2+1)
因为A1B1垂直面BB1CC1,所以A1B1=根号（A1B1^2 +B1O^2+OP^2)
PA1=根号34+1+X^2
PA1+CP=根号(X^2+1)+根号(35+X^2) 因为X=(0~1 原式=1+根号35

Answer 3

故A1C1⊥平面BB1C1C，
BC1∈平面BB1C1C，
故A1C1⊥BC1，
三角形A1C1P是直角三角形，〈A1C1P=90度，
将A1C1旋转与C1B1重合，在C1B1上截C1M=C1A1，连结MC，即为A1P+CP的最短距离，CC1= √2，C1M=6，
CM=√（CC1^2+C1M^2)=√38.
因不能修改，重新发出。
dengcz2009