Question

高中数学难题

向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0<t0<1/5时，夹角的取值范围。(25分)

Answer 1

（所有不带 | |的都是代表向量；|QP|2代表|QP|的平方；设夹角为θ） OP-OQ=QP=tOA-（1-t）OB=t（OA+OB）-OB
即QP=t（OA+OB）-OB 两边平方，有|QP|2=t2（OA+OB）2+|OB|2-2t（OA+OB）OB=t2（|OA|2+|OB|2+2OA*OB）+|OB|2-2t（OA*OB+|OB|2）
因为|OA|=1 |OB|=2，所以|OA|2=1， |OB|2=4 。且OA*OB=|OA||OB|*cosθ 所以|QP|2=t2（1+4+4cosθ）+4-2t（2cosθ+4）整理后得|QP|2=（5+4cosθ）t2-2（2cosθ+4）t+4
由二次函数y为最小值x取-（b/2a）；有，当|QP|2取最小值时，t0取 （（2cosθ+4）/（5+4cosθ））
因为0<t0<1/5，所以0<（（2cosθ+4）/（5+4cosθ））<1/5
变形有0<（（4cosθ+5+3）/（5+4cosθ））<2/5,所以0<1+(3/(5+4cosθ))<2/5，因为5+4cosθ一定大于1，所以整理得0<cosθ<1/2。可得θ的取值