如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE=2∠C，求证:AC-AB=2BE
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延长BE交AC于点B1, 因为BE⊥AE,所以BB1⊥AE,又因为AE平分∠BAC
所以 AB=AB1 ,∠ABE=∠AB1E, BE=B1E .即BE=BB1的二分之一
考虑∠ABE=2∠C,所以∠AB1E=2∠C,所以BCB1是等腰三角形.即BB1=B1C
又B1C=AC-AB1=AC-AB 且 B1C=BB1=2BE
所以AC-AB=2BE
所以 AB=AB1 ,∠ABE=∠AB1E, BE=B1E .即BE=BB1的二分之一
考虑∠ABE=2∠C,所以∠AB1E=2∠C,所以BCB1是等腰三角形.即BB1=B1C
又B1C=AC-AB1=AC-AB 且 B1C=BB1=2BE
所以AC-AB=2BE
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证：延长BE到AC，设交点为D。
三角形AEB和三角形AED：∠BAE=∠DAE，AE=AE，∠AEB=∠AED=90度
因此这两个三角形全等，则有：BE=DE，AB=AD，∠ABE=∠ADE=2∠C，
又因为∠ADE=∠C+∠DBC=2∠C，所以：∠DBC=∠C，则三角形BDC为等腰三角形，BD=DC。
因为BD=BE+DE=2BE，DC=AC-AD=AC-AB，所以AC-AB=2BE。得证
三角形AEB和三角形AED：∠BAE=∠DAE，AE=AE，∠AEB=∠AED=90度
因此这两个三角形全等，则有：BE=DE，AB=AD，∠ABE=∠ADE=2∠C，
又因为∠ADE=∠C+∠DBC=2∠C，所以：∠DBC=∠C，则三角形BDC为等腰三角形，BD=DC。
因为BD=BE+DE=2BE，DC=AC-AD=AC-AB，所以AC-AB=2BE。得证
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