Question

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如图,△ABC是圆O的内接三角形。圆O的直径BD交AC于E,AF⊥BD于F，延长AF交BC于G

求证：AB^2=BG*BC

Answer 1

证明：连接AD,CD
∵BD为圆O的直径
∠BAD=∠BCD=90°
∠BAG+∠DAF=90°
∠BDA+∠DAF=90°
∴∠BAG=∠BDA
∵∠BCA=∠BDA(同圆中同弧对应的圆周角相等)
∴∠BAG=∠BCA
∵Rt△BFG中,
∠BGF+∠GBF=90°
Rt△BCD中
∠BDC+∠CBD=90°
∴∠BGF=∠BDC
∵∠BAC=∠BDC
∴∠BGA=∠BAC
∵∠ABC为公共角
△ABG∽△CBA
AB:CB=BG:AB
即AB^2=BG*BC

Answer 2

连接AD
∴BD是直径
∵∠BAD＝90°
∴AE⊥BD
∵∠BEA＝90°
∵⊿BAD≈⊿BEA (∠ABD为公共角）
∵∠BAE＝∠BDA=∠BCA (∠BDA与∠BCA为同弧圆周角）
∵⊿BAC≈⊿BGA (∠ABC为公共角）
∵ BC:AB=AB:BG
∵ AB^2=BC*BG
或
证明：连接CD，AD

∵角CBD=角CAD（弧长所对应的角相等）
AE⊥BD（已知） 角BAD=90（直径所对应的角）
∴角AGB=90°-∠CBD
∠BAC=90°-∠CAD
∴∠AGB=∠BAC
同理可证得∠BAG=∠BCA
又因为顶角相等（B点）
所以两个三角形相似
所以可证得成比例

Answer 3

用手机，写起来不太方便简单和你说一下。连接A D，根据圆的性质，易得角ADB=角ACB，因为角BAD为直角，所以角ABD+角ADB=90度。因为角ABD+角BAG=90度，所以角BAG=角ADB=角ACB。又因为角ABG=角CBA，所以三角形ABG相似于三角形CBA，原式得证。

Answer 4

证明 ∵AG⊥BD
∴∠FBG+∠FGB=90°
∵∠BAC=1/2弧BC
∠FBG=1/2弧CD
弧BC+弧CD=180°
∴∠BAC+∠FBG=90°
∴∠FGB=∠BAC
同理 ∠BAG=∠ACB
又∵∠ABG=∠ABC
∴△ABG~△CBA
∴AB/BC=BG/AB
∴AB^2=BC*BG

Answer 5

连AD，因为BD是直径，所以AD垂直AB，又AF垂直BD，所以角BAG=角BAD，而圆周角ACB=圆周角ADB，所以角BAG=角ACB，角ABC是三角形ABC和三角形GBA的共角，所以这两个三角形相似，所以AB：CB=BG：AB，所以AB^2=BG*BC