Question

基础解系解出2个向量，然而特征值只有一个 怎么办？看下图题目，回答我的问题并且给出完整解题过程

基础解系解出2个向量，然而特征值只有一个 怎么办？看下图题目，回答我的问题并且给出完整解题过程高等数学 线性代数 考研

Answer 1

特征值就求错了。
把|λE-A|的二三列都加到第一列，第一列提取公因子λ-5，然后第一行乘以-1加到二三行，得|λE-A|＝(λ-5)(λ+1)²，所以特征值是5，-1，-1。
对于λ＝5，解方程组(5E-A)x=0，得x1=x2=x3，所以基础解系ξ1=(1,1,1)'。这里'代表转置。
对于λ＝-1，解方程组(-E-A)x=0，得x1+x2+x3=0，所以基础解系是ξ2=(1,-1,0)'，ξ2=(1,1,-2)'。这里的基础解系有无穷多种选择，我们选择让ξ2与ξ3正交。这样向量组ξ1,ξ2,ξ3就是正交向量组，后续的计算就简单些。
将ξ1,ξ2,ξ3单位化为η1=(1/√3,1/√3,1/√3)'，η2=(1/√2,-1/√2,0)'，η3=(1/√6,1/√6,-2/√6)'。
令P=(η1,η2,η3)，则线性变换x=Py化二次型为标准形5y1²-y2²-y3²。

追问

特征值是 -1 -1 5 可以写成-1y-1y+5y吗？

追答

可以啊，P的列也随之改变就是了。矩阵P里面的特征向量的排列顺序决定最后标准形里面的平平方项的系数。