Question

很简单的一道二次函数。

关于X的二次函数y=ax^2+bx+c的图像顶点坐标为（2,1）图像在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

Answer 1

因为是二次函数，所以a不等于0 y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
顶点坐标为(-b/2a,+(4ac-b^2)/4a)=(2,1)
又图像在X轴上截得线段长度为2，而此两点关于X=2对称，则知图像与X轴交点为(1,0)和(3,0)
即有y=a(x-1)(x-3)=ax^2-4ax+3a
综上整理有：
-b/2a=2
(4ac-b^2)/4a=1
c=3a
解方程组得a=-1 b=4 c=-3
故y=-x^2+4x-3

Answer 2

定点可知道方程为y=a(x-2)²+1
化简为y=ax²-4ax+4a+1
截距为2就是|x1-x2|=2
(x1+x2)²-4x1x2=4，4²-4(4+1/a)=4，
a=-1
所以y=-x²+4x-3

Answer 3

解：∵关于X的二次函数y=ax^2+bx+c的图像顶点坐标为（2,1）
∴x=-b/2a=2 y=4ac-b^2/4a=1
∵图像在X轴上截得的线段长为2
∴与x轴的两个交点之间的距离为2
∴交点坐标为（1，0)或（3，0）
∴{2=-b/2a 1=4ac-b^2/4a 0=a+b+c
∴{a=-1 b=4 c=-3
∴y=-x²+4x-3