Question

已知抛物线y=ax2+bx+3(a不等于0)与x轴交于点a（1，0）和点b（-3，0），与y轴交于点c

已知抛物线y=ax2+bx+3(a不等于0)与x轴交于点a（1，0）和点b（-3，0），与y轴交于点c
（1）求抛物线的解析式
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m，问在对称轴上是否存在点p，使三角形cmp为等腰三角形，若存在，请求出p点的坐标（4种情况）
（3）若点e为第二象限抛物线上一动点，连接be，ce，求四边形boce面积的最大值，并求出此时e点的坐标

Answer 1

解：(1)由题意知 方程 ax^2+bx+3=0的两根分别是 1，--3
所以 由韦达定理可得：1+（--3）＝--b/a
1*(--3)=3/a
由此解得： a=--1,b=--2
所以 所求抛物线的解析式为：y=--x^2-2x+3
（2）抛物线与Y轴交点C的坐标是：C(0,3)
抛物线的对称轴是直线：x=--1,所以M点的坐标是M（--1，0）
因为 点P在对称轴上，所以可设 点P的坐标为（--1，Y.）
则 IPM I=IyI, IPCI=根号里面[1+(y-3）^2 ], IMCI=根号10
因为三角形CMP是等 腰三角形
所以必须是 IPMI=IPCI 或 IPMI=IMCI 或 IPCI=IMCI.
当IPMI=IPCI时 IyI=根号里面[1+(y--3)^2] 即 y^2=1+y^2--6y+9 所以 y=5/3
当IPMI=IMCI时 IyI=根号10 所以 y=根号10 或 y=--根号10.
当IPCI=IMCI时 1+(y--3)^2=10 即 y^2--6y=0 所以 y=0或 y=6
所以说 在对称轴上是存在一点P使三角形CPM为等腰三角形
点P的坐标是(--1,5/3) 或 （--1，根号10）或 （--1，--根号10）或 （--1，6）
(3)设点E坐标为(x,y),E在第二象限，画出图像可知-3<x<0,y>0
三角形BE0面积＝(1/2)*y*B0=3y/2
三角形CE0面积＝(1/2)*(-x)*C0=-3x/2
四边形BOCE面积＝(3/2)(y-x)=(3/2)(-x^2-2x+3-x)
＝(-3/2)(x^2+3x-3)=(-3/2)((x+3/2)^2-21/4)
＝(3/2)(21/4-(x+3/2)^2)
所以当x=-3/2时，有最大面积63/8
此时E的坐标为(-3/2,15/4)