Question

定积分题

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f '(x)<=0，而F(x)=1/(x-a)定积分(a到x)f(t)dt,证明在(a,b)内F'(x)<=0

Answer 1

因为F(x)=1/(x-a)定积分(a到x)f(t)dt
所以F'(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a) (其中运用到变上限积分求导公式)
而f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f '(x)<=0
所以[f(x)-f(a)]/(x-a)<=0(其中运用到函数的单调性)
则在(a,b)内F'(x)<=0