Question

常系数微分方程的题

一般步骤我知道，求具体点的过程

Answer 1

常系数线性非齐次方程
通常步骤都是特解和通解两步。

思路：鉴于等号右边的形式复杂，可以将方程拆成如下：
X''-2X'+2X=t*exp*cos(t);

X''-2X'+2X=t^2;

解：特征方程为

X^2-2*X+2=0
解为共轭复根1+i和1-i；
则通解为c1*exp(t)*cos(t)+c2*exp(t)*sin(t);

找特解
X''-2X'+2X=f(t);
f(t)=t*exp*cos(t)时，这个比较容易，教材一般都会用这一类的例子，因为f(t)=t*exp[(1+i)t],所以设X=z*exp[(1+i)t],代入方程可得z''+2i*z'=t;
设z=t*(k*t+b),待定系数得，k=-0.25i,b=0.25,
由于之前cos对应于实部，所以也取特解的实部，为
t*exp(t)*(0.25cos(t)+0.25sin(t))

对于f(t)=t^2,只能用猜的了，特解为t+0.5*t^2+0.5;

最终的结果应该是通解+特解1+特解2
为c1*exp(t)*cos(t)+c2*exp(t)*sin(t)+t*exp(t)*[0.25cos(t)+0.25sin(t)]+t+0.5*t^2+0.5；

额 好久没做微积分的题了。。。。。。。