Question

初三数学题，急啊！！！

已知如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC延长线上一点,E是边AC上一点，如果∠EBC=∠D，BC=4，cos∠ABC=1/3。
1）求证:CE/AB=BC/BD
2)如果S1,S2分别表示△BCE和△ABD的面积，求S1×S2的值
3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积

Answer 1

1:注意到△EBC和△ADB
因为∠EBC=∠D(∠ADB),又因为等腰三角形ABC的∠ABC=∠ACB(即∠ECB)
故△EBC和△ADB相似(两角相等即相似)
其中∠BEC相应∠BAD分别对应的边为BC和BD
而∠EBC相应∠ADB分别对应的边为CE和AB
故该命题得证(相似三角形对应角的对边长比相等)
2：S1*S2=(BC*EC*sin∠ECB)/2 * (BD*AB*sin∠ABD)/2
由于CE*BD=AB*BC(即上证命题的乘法形式)
所以S1*S2=AB^2 * BC^2 * (sin∠ABC)^2 /4
其中AB=(BC/2)/Cos∠ABC=6 (sin∠ABC)^2=1-(1/3)^2=8/9
所以S1*S2=36*16*8/9 /4 =128
3：由于∠AEB=∠ACD则他们的补角也相等
即∠BEC=∠BCE,则△BCE是等腰三角形
又因于△ABC其中一个底角相重(同角),故相似于△ABC
故∠EBC=∠BAE,即∠D=EBC,同理可证
△DAB、△ABC、△BCE两两相似
则:BD/AB=AB/BC 故BD=6*6/4=9
S△ACD=CD*AC*sin∠ACD/2
=(BD- BC)*AB*sin∠ABC /2
=10√2