Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，点O是AC的中点，直线L是过点O的直线

它从与AC重合的位置开始绕点O作逆时针旋转，旋转角为∠α，动直线L交AB边于点D,过点C作CE平行AB交直线L于点E。
问：（1）当∠α为多少度时，四边形EDBC是等腰梯形？此时AD的长是多少？
（2）如图（二），当∠α=90°时，四边形EDBC是否为菱形？请说明理由

Answer 1

（1）因为∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，点O是AC的中点，直线L是过点O的直线。四边形EDBC是等腰梯形。所以角A=30度，角LDA=120度所以∠α=30度。
根据已知条件得AC=2根号3，所以AO=根号3，过D点做AO的垂线，得AD=1

Answer 2

（1）30°；1；
（2）四边形EDBC是菱形。
证明：∵∠α=∠ACB=90°
∴ED//CB
∵EC//BD
∴四边形EDBC是平行四边形
∵O是AC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∵点D是AB的中点
∴AD=DB=2
∵BC=2
∴DB=BC
∴四边形EDBC是菱形

Answer 3

解：（1）解法一：当∠α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．（1分）
当∠α=30°时，∠EDB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，AB=4，（2分）
在等腰梯形EDBC中，过点C作DB的垂线，易得DB=2+EC，（3分）
所以AB=AD+DB=2+EC，又AD=EC，
所以AB=2+2AD，即4=2+2AD，所以AD=1（4分）
解法二：当∠α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．（1分）
∴ED=BC=2
∵CE∥AB
∴∠A=∠ECA
∵点O是AC的中点
∴OA=OC
又∵∠α=∠EOC
∴△EOC≌△DOA（2分）
∴OD=OE=1/ 2 ED=1（3分）
∵∠A=∠α=30°
∴AD=OD=1；（4分）

（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
证明：∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED．
∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形．（5分）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，AB=4，AC=2 根号3 ．
∴AO=1/ 2 AC=根号 3 ．（6分）
∵直角△ABC中，∠B=60°
∴∠CAB=30°
∴AB=2BC=4
∵点O是AC的中点．且∠α=90°
∴OD∥BC
∴AD=1/ 2 AB=2
∴在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2．
∴BD=2，BD=BC．（7分）
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形．（8分）

Answer 4

（1）30°；1；
（2）四边形EDBC是菱形。
证明：∵∠α=∠ACB=90°
∴ED//CB
∵EC//BD
∴四边形EDBC是平行四边形
∵O是AC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∵点D是AB的中点
∴AD=DB=2
∵BC=2
∴DB=BC
∴四边形EDBC是菱形