Question

(一道高中数学题....)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2....

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。
(1)求椭圆的方程
(2)若C，D分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM，交椭圆与点P，证明：向量OM·向量OP为定值
(3)在(2)的条件，试问X轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
要过程啊...感激不尽.~~

Answer 1

(1)由题意知F1A=2，即a=2，OA=OF1=根号2，b=c=根号2,
所以椭圆方程为 x^2/4+y^2/2=1
(2)设点M的坐标为(2,Ym)，点P的坐标为(Xp,Yp)，满足 Xp^2/4+Yp^2/2=1。
由于M,P是在x轴的同一侧，所以Ym,Yp同正同负,已知MD⊥CD，过点P做线段垂直于x轴，根据三角形相似比，得到Yp/Ym=(Xp+2)/4,Ym=4Yp/(Xp+2)
向量OM点乘向量OP
=(2,Ym)(Xp,Yp)
=2Xp+YmYp
=2Xp+4Yp/(Xp+2)*Yp
=2Xp+(8-2Xp^2)/(Xp+2)
=(8+4Xp)/(Xp+2)=4
(3)设直线DP,MQ的交点为点N，MP为直径的圆恒过点N，即角PNM=90，即DP与MQ互相垂直。
点M的坐标为(2,Ym)，点P的坐标为(Xp,Yp)，点D的坐标为(2,0)，点Q的坐标为(X0,0)
向量DP点乘向量QM
=(Xp-2,Yp)(2-X0,Ym)
=(Xp-2)(2-X0)+YpYm
=(Xp-2)(2-X0)+4Yp/(Xp+2)*Yp
=(Xp-2)(2-X0)+2(2-Xp)
=-X0(Xp-2)=0
动点M,连结CM，交椭圆与点P,所以点P也是动点，所以X0=0，点Q的坐标为(0,0)