Question

数列与不等式综合问题

已知数列{Xn}满足X1=4,Xn+1=(Xn^2-3)/(2Xn-4)
（1）求证Xn>3
（2）求证Xn+1>Xn
（3）求数列{Xn}的通项公式
（题目中Xn+1，n+1为角标）

Answer 1

x(n+1)-3=(x²n-6xn+9)/(2xn-4)=(xn-3)²/2(xn-2)=(xn-2-1)²/2(xn-2)
x(n+1)-3=(xn-2)/2-1+1/2(xn-2)≥1-1=0(xn=3时取等号，显然xn不等于3)
所以x(n-1)-3>0
xn>3
x(n+1)-xn=(x²n-3-2x²n+4xn)/(2xn-4)=(-x²n+4xn-3)/2(xn-2)
x(n+1)-xn=(-(xn-2)²+1)/(2xn-4)=-(xn-2)/2+1/2(xn-2)
xn>3,xn-2>1,(xn-2)/2>1/2,1/2(xn-2)<1/2
x(n+1)-xn=(-(xn-2)²+1)/(2xn-4)=1/2(xn-2)-(xn-2)/2<0
x(n+1)<xn
x=(x²-3)/(2x-4)
2x²-4x=x²-3
x²-4x+3=0
x=3,x=1
x(n+1)-3=(x²n-6xn+9)/(2xn-4)
x(n+1)-1=(x²n-2xn+1)/(2xn-4)
(x(n+1)-3)/(x(n+1)-1)=((xn-3)/(xn-1))²
an=(xn-3)/(xn-1),a1=(a1-3)/(a1-1)=1/3
a(n+1)=a²n
an=a²(n-1)
an=a1^2^(n-1)
an=(1/3)^2^(n-1)
an=(xn-3)/(xn-1),an=1-2/(xn-1),1-an=2/(xn-1),xn-1=2/(1-an)
xn=2/(1-an)+1
xn=2/(1-(1/3)^2^(n-1))+1