Question

高考数学概率题

现有A、B、C、D四个长方体容器,A、B的底面积均为x^2,高分别为x,y(x≠y);C、D的底面积均为y^2，高分别为x、y(其中x<y的概率为0.6)。现规定一种甲、乙两人玩游戏的规则：没人从四种容器中取两个来盛水，盛水量多者为胜，如果盛水量相同则先曲者负，夹在未能确定x与y大小的情况下先去了A，然后随机又取了一个，那么甲先取时胜乙的概率有多大？

Answer 1

解：易得A、B、C、D四个长方体容器的体积分别是x^3、x^2y、xy^2、y^3。
因为甲先取了A，那么还有3种情况需要讨论：
(1)甲取了A和B，则甲取的总体积与乙取的总体积之差ξ1=(x^3+x^2y)-(xy^2+y^3)=(x-y)(x+y)^2；
(2)甲取了A和C，则甲取的总体积与乙取的总体积之差ξ2=(x^3+xy^2)-(x^2y+y^3)=(x-y)(x^2+y^2)；
(3)甲取了A和D，则甲取的总体积与乙取的总体积之差ξ3=(x^3+y^3)-(x^2y+xy^2)=(x+y)(x-y)^2。
分别设3种情况取胜的概率为P1、P2、P3，总的获胜概率为P。
因为x<y的概率为0.6，且x≠y，则x-y＞0的概率为0.4。
P=P1+P2+P3=P(ξ1＞0)+P(ξ2＞0)+P(ξ3＞0)=(1/3)*0.4+(1/3)*0.4+(1/3)*1=(0.4+0.4+1)/3=0.6。
故，甲先取时胜乙的概率是0.6。

Answer 2

概率是0.8
因为在y>x时，先取到A的甲要赢必须再取D， 因此概率为 0.6*2/3
而在x<y时，先取到A的甲本身已经赢了所以 概率是0.4
所以相加得到0.8
之所以有以上取法在于 X^3+y^3-x^2y-xy^2>0