Question

设直线L:Y=X+1与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2相交A,B两个不同点，L与X轴相交与点F，设F为椭圆焦点，且向量AF=向量2

有不用参数方程的解法吗

Answer 1

首先说明 这道题我第一次得到的答案是错误的
正确的应该是x²/9/2+y²/7/2=1 下面是我所知道最简便的方法

记A,B横坐标分别为x1,x2
向量AF=2向量FB
由定比分点得(x1+2x2)/3=-1
即x1+2x2=-3
由第二定义可得|AF|/(x1+a²/c)=c/a
则焦半径|AF|=cx1/a+a
同理|BF|=cx2/a+a
|AF|+2|BF|=2|AF|=c(x1+2x2)/a+3a

x2+a²/c=a²/c-c-|BF|cos45°
x1+a²/c=a²/c-c+|AF|cos45°
(x2+a²/c)/(x1+a²/c)=|BF|/|AF|=1/2
2[a²/c-c-√2|BF|/2]=a²/c-c+√2|AF|/2
得a²/c-c=√2|AF|
2|AF|=√2(a²/c-c)=-3c/a+3a
代入c=1 √2(a²-1)=3(a²-1)/a得a=3/√2
椭圆方程为x²/9/2+y²/7/2=1