Question

数学 题目 若点P(x,y)是圆x^2+y^2=25上的点,求x+y的最大值

Answer 1

楼下用的是参数法，比较简单值得一用。我这还有一种常规方法：
求X+Y的最大，可通过均值不等式（又叫基本不等式）转化为X+Y≥2√ XY（x，y大于0）
根据基本不等式可知，当且仅当X=Y时，X+Y可取得最大值。（注意一正二定三相等）
因为X=Y，代入x^2+y^2=25，可得2*x^2=25.可解出X=(5√ 2)/2
所以当X=Y=（5√ 2)/2时，X+Y可取最大值2√ XY。代入X=Y=（5√ 2)/2，可得2√ XY=5√ 2
所以x+y的最大值为5√ 2
注：因为点在圆上，能使X+Y有最大值，则X与Y必皆为正数。这个根据对称性不难得出。所以我取第一象限作为研究范围，故 x，y大于0。

Answer 2

设P点坐标：x=5cosα；y=5sinα 其中α∈[0，2π）
∴x+y=5cosα+5sinα=5√2sin（α+π/4）
由于sin（α+π/4）∈[-1，1]
∴x+y的最大值为5√2

Answer 3

方法一：利用参数 x=5cosα；y=5sinα α∈[0，2π）
则x+y=5cosα+5sinα 在根据辅助角公式得：x+y=5√2sin（α+π/4）。
因为 sin（α+π/4）∈[-1，1]
所以x+y<=5√2.
方法二：利用不等式的性质：(a^2+b^2)/2>=[(a+b)/2]^2
则有： (x+y)^2<=2(x^2+y^2)=50 （当且仅当a=b时，等号成立）
所以 x+y<=5√2 即最大值为5√2 。