Question

设f(x) 是定义在R上的偶函数,对任意x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y),当x大于0时，有0＜f(x)＜1

设f(x) 是定义在R上的偶函数,对任意x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y),当x大于0时，有0＜f(x)＜1
1.求证：f(0)=1,且当x小于0时，f(x)大于1
2.求证：f(x)在R上单调递减

Answer 1

第一个很简单，因为f(0+x)=f(0)*(x),且当x>0时,0<f(x)<1,故f(0)不能为0，因此f(0)=1.再令x+y=0,
则有f(0)=f(x)*f(y),当x<0时,f(x)=1/f(y),且y>0,故0<f(y)<1,所以f(x)>1.
第二个用单调性定义来证明，令x1<x2,且x1+a=x2,(a>0),故f(x2)=f(x1+a)=f(x1)*f(a),因为a>0所以
0<f(a)<1,因此f(x2)=f(x1)*f(a)<f(x1)*1<f(x1),又x2>x1，故f(x)单调递减。

Answer 2

该问题的提干有问题