Question

高中椭圆问题

点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-1/3。设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得三角形PAB与三角形PMN的面积相等？若存在求出P的坐标，若不存在说明理由
二楼啊……请动笔下。MN的距离不怎么好求

Answer 1

解：
∵点B与点A（－1，1）关于点O对称
∴点B的坐标为（1，－1）
设点P的坐标为（u，v）
则直线AP的方程为
（u＋1）y－（v－1）x＝u＋v ①
其斜率为
（v－1）／（u＋1）
直线BP的方程为
（u－1）y－（v＋1）x＝－（u＋v ） ②
其斜率为
（v＋1）／（u－1）
∵直线AP与BP的斜率之积等于－1／3
∴〔（v－1）／（u＋1）〕×〔（v＋1）／（u－1）〕＝－1／3
∴ u^2＋3v^2＝4 ③
∴动点P的轨迹是一个椭圆，
其中心在原点O,长轴在x轴，长半轴等于2，短半轴等于（2√3）／3
由x＝3和①得
y＝（u＋4v－3）／（u＋1）
此即点M的纵坐标。
由x＝3和②得
y＝（－u＋2v＋3）／（u－1）
此即点N的纵坐标。
△PAB的面积为下式的绝对值
（1／2）×〔u×1－v×（－1）＋（－1）×（－1）－1×1＋1×v－（－1）×u〕
＝u＋v ④
∵△PAB存在
∴u＋v ≠0
△PMN的面积为下式的绝对值
（1／2）×〔u×（u＋4v－3）／（u＋1）－3×v＋3×（－u＋2v＋3）／（u－1）－3×（u＋4v－3）／（u＋1）＋3×v－u×（－u＋2v＋3）／（u－1）〕
＝（u＋v）（u－3）^2／（u^2－1） ⑤
若△PMN与△PAB的面积相等，则
（u＋v）（u－3）^2／（u^2－1）＝±（u＋v ）
∵u＋v ≠0
∴（u－3）^2／（u^2－1）＝±1
由（u－3）^2／（u^2－1）＝1得
u＝5／3
由u＝5／3和③得
v＝±（√33）／9
由（u－3）^2／（u^2－1）＝－1得
u^2－3u＋4＝0
此式无实数解。
∴存在点P使得三角形PAB与三角形PMN的面积相等，P的坐标为
（5／3，（√33）／9）
或（5／3，－（√33）／9）

Answer 2

看图

Answer 3

这种题直接建系设点啊，把p点射出来，AP，BP直线求出来，把M，N点表示出来（AP，BP与x=3的交点），然后分别算出两个三角形面积（除了左边那个要算一下AB边的高，用那个公式就好），然后相等看有没有解就行咯塞！自己算嘛
MN之间的距离乘以P到MN的距离的一半就是PMN啊

Answer 4

用k1,k2表示PA,PB斜率.可以得到两个直线方程
用k1，k2表示x,y 发现 x=(k1+k2+2)/(k2-k1) y=(2k1k2+k1+k2)/(k2-k1)
这样 P点的坐标也出来了
用直线求MN坐标.得到MN长度为|4k1-2k2+2| ,然后高是x-3=|4k2-2k1+2|
然后AB直线x+y=0 P到AB距离=|x+y|/v2(根号2) AB距离2v2带入一算..
注意K1K2=-1/3.
具体还是有一定计算量的..可以自己试试..至少是一个方法

Answer 5

好难，算算看

P轨迹方程为：x2+3y2=4

然后列方程可求