Question

跪求三道定积分推导 如图

Answer 1

答：
7.原积分
=∫(0到π) √[(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx] dx
=∫(0到π) √(sinx+cosx)^2 dx
=∫(0到π) |sinx+cosx| dx
=∫(0到3π/4) sinx+cosx dx + ∫(3π/4到π) -sinx-cosx dx
=-cosx+sinx|(0到3π/4) +cosx-sinx|(3π/4到π)
=√2/2+√2/2-(-1)+(-1)-(-√2/2-√2/2)
=2√2
本题注意划分积分区域去绝对值。

8.换元，令x=asint(其中0<=t<=π/2)，则cost>0，dx=acost，t=arcsin(x/a)。
原积分=∫(0到π/2) a^2(sint)^t√[a^2(cost)^2] *acost dt
=∫(0到π/2) a^3cost(sint)^2√[a^2(cost)^2] dt
=|a|*a^3 ∫(0到π/2) (costsint)^2 dt
=|a|*a^3 ∫(0到π/2) 1/4*(2costsint)^2 dt
=|a|*a^3/4 ∫(0到π/2) (sin2t)^2 dt
=|a|*a^3/4 ∫(0到π/2) (1-cos4t)/2 dt
=|a|*a^3/4 * [t/2-(sin4t)/8] |(0到π/2)
=|a|*a^3/4 * [π/4-(sin2π)/8]
=|a|*a^3π/16
它的答案是√a^2，其实就是|a|，因为不知道a是否大于0，所以要加绝对值。

10.原积分
=∫(0到π) 1-sinθ(1-(cosθ)^2) dθ
=θ+cosθ-1/3*cos^3|(0到π)
=π+(-1)-(-1/3)-1-(-1/3)
=π-4/3

有什么问题欢迎一起探讨。