鸡兔同笼
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"鸡兔同笼"是我国民间广为流传的数学趣题，新课标教材揭去它"奥数"令人生畏的面纱，还其生动有趣的一面。通过学习，不仅使学生感受祖先的聪明才智，而且体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生探索的兴趣与能力。
一、化归思想
化归是基本而典型的数学思想。化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。我们常常用到的如化未知为已知、化难为易、化繁为简、化曲为直等都是这一思想方法的运用。"鸡兔同笼"原题中的数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，根据化繁为简的思想，先安排数据较小的问题，如"笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有7个头，从下面数，有18只脚。鸡和兔各有几只？"（以下均以此题为例）待学生探索出解决此类问题的一般方法后，再应用于解决《孙子算经》中数据较大的原题，学生将易如反掌。"鸡兔同笼"问题在生活中有很多变式，比如"龟鹤问题"、"坐船问题"等，这些问题可以通过化归，归结为"鸡兔同笼"问题，再进一步求解，使学生感受"鸡兔同笼"问题的变式及其在生活中的广泛应用，体会"化归法"在解题中的魅力。
二、枚举思想
通过枚举解决问题就是把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。枚举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。在学生刚接触"鸡兔同笼"问题时，学生要列式计算往往感到困难。但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，学生可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用枚举法（即一一列举）来解决问题，学生一般用顺序枚举法，按从大到小或从小到大依次枚举，可以有效避免疏漏或重复。枚举法常常借助于列表来及时记录了每一种可能的结果。 例如上题应用此法可得到鸡有5只、兔有2只。
鸡/只 1 2 3 4 5
兔/只 6 5 4 3 2
脚/只 26 24 22 20 18
当数据较大时，可以引导学生根据数据的特点按一定的间隔或从中间数开始列举，不断优化枚举法，灵活快捷地解决问题。
三、数形结合思想
利用"数形结合"，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，使问题化难为易，化繁为简 ，激发学生学习兴趣。 在教学"鸡兔同笼"问题时，根据上题中数据较小的特点让学生用画图法解题：（如下图），用○表示头，用∣表示脚，先画7个头，如果每个头下都画上2只脚，数一数，共有14只脚，比题中给出的脚数少了4只。2只2只的添，添2次脚刚好18只脚。得到笼中有5只鸡和2只兔。也可以先在每个头下画上4只脚，结果比题中给出的脚数多了10只。 2只2只地划去，划5次后脚的数刚好是18只，得到相同答案。
运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问题的学生来说，不仅学得兴趣、简单，而且能加深用假设法解题的思路的理解，发展学生的思维能力。
四、假设思想
假设是一种重要的数学思想方法。假设法是先假定一种情况或结果，然后通过推导、验证来解决问题的方法。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养学生灵活的解题技能，发展学生的逻辑推理能力。
用假设法解答上题有多种思路，可以先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设情况下总脚数之差，最后推理出鸡和兔的只数。比如假设7只都是鸡，那么兔有（18-7×2）÷（4-2）=2（只），鸡有7-2=5（只）。运用假设法解题是教学的难点，教师可以先让学生用上述的"画图法"，学生会在直观操作活动中通过数形结合而建立思维的表象，再进一步抽象，这样有助于学生真正理解"假设法"，形成有序地、严密地思考问题的意识。教师也可以向学生介绍古人解决"鸡兔同笼"问题的"抬脚法"，其中也应用了"假设法"。
五、方程思想
方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言"翻译"成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。在"鸡兔同笼"的问题中，可以设鸡或兔中任意一种有X只，然后根据鸡、兔的只数与脚的总只数的关系列方程来解答。例如设兔有X只，则鸡有（7－X）只，可列方程 ：4X＋2(7－X)=18，解得X=2，于是鸡有：7－2＝5（只）。方程解法思路比较简单，且具有一般性，教学中要突出方程解法的优越性，不断渗透方程思想。
以上是"鸡兔同笼"问题的各种解法中蕴含的主要的数学思想方法，从上述讨论中看出一种解法中可以蕴含不同的数学思想，而不同解法中可以蕴含同一种数学思想。教师应该根据不同年级学生的特点来合理地选择重点渗透的数学思想方法，使学生受到数学思想方法的熏陶，发展学生的思维能力和解决问题的能力，使"鸡兔同笼"这个传统的数学趣题在新课程背景下焕发出新的夺目的光彩。
一、化归思想
化归是基本而典型的数学思想。化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。我们常常用到的如化未知为已知、化难为易、化繁为简、化曲为直等都是这一思想方法的运用。"鸡兔同笼"原题中的数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，根据化繁为简的思想，先安排数据较小的问题，如"笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有7个头，从下面数，有18只脚。鸡和兔各有几只？"（以下均以此题为例）待学生探索出解决此类问题的一般方法后，再应用于解决《孙子算经》中数据较大的原题，学生将易如反掌。"鸡兔同笼"问题在生活中有很多变式，比如"龟鹤问题"、"坐船问题"等，这些问题可以通过化归，归结为"鸡兔同笼"问题，再进一步求解，使学生感受"鸡兔同笼"问题的变式及其在生活中的广泛应用，体会"化归法"在解题中的魅力。
二、枚举思想
通过枚举解决问题就是把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。枚举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。在学生刚接触"鸡兔同笼"问题时，学生要列式计算往往感到困难。但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，学生可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用枚举法（即一一列举）来解决问题，学生一般用顺序枚举法，按从大到小或从小到大依次枚举，可以有效避免疏漏或重复。枚举法常常借助于列表来及时记录了每一种可能的结果。 例如上题应用此法可得到鸡有5只、兔有2只。
鸡/只 1 2 3 4 5
兔/只 6 5 4 3 2
脚/只 26 24 22 20 18
当数据较大时，可以引导学生根据数据的特点按一定的间隔或从中间数开始列举，不断优化枚举法，灵活快捷地解决问题。
三、数形结合思想
利用"数形结合"，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，使问题化难为易，化繁为简 ，激发学生学习兴趣。 在教学"鸡兔同笼"问题时，根据上题中数据较小的特点让学生用画图法解题：（如下图），用○表示头，用∣表示脚，先画7个头，如果每个头下都画上2只脚，数一数，共有14只脚，比题中给出的脚数少了4只。2只2只的添，添2次脚刚好18只脚。得到笼中有5只鸡和2只兔。也可以先在每个头下画上4只脚，结果比题中给出的脚数多了10只。 2只2只地划去，划5次后脚的数刚好是18只，得到相同答案。
运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问题的学生来说，不仅学得兴趣、简单，而且能加深用假设法解题的思路的理解，发展学生的思维能力。
四、假设思想
假设是一种重要的数学思想方法。假设法是先假定一种情况或结果，然后通过推导、验证来解决问题的方法。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养学生灵活的解题技能，发展学生的逻辑推理能力。
用假设法解答上题有多种思路，可以先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设情况下总脚数之差，最后推理出鸡和兔的只数。比如假设7只都是鸡，那么兔有（18-7×2）÷（4-2）=2（只），鸡有7-2=5（只）。运用假设法解题是教学的难点，教师可以先让学生用上述的"画图法"，学生会在直观操作活动中通过数形结合而建立思维的表象，再进一步抽象，这样有助于学生真正理解"假设法"，形成有序地、严密地思考问题的意识。教师也可以向学生介绍古人解决"鸡兔同笼"问题的"抬脚法"，其中也应用了"假设法"。
五、方程思想
方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言"翻译"成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。在"鸡兔同笼"的问题中，可以设鸡或兔中任意一种有X只，然后根据鸡、兔的只数与脚的总只数的关系列方程来解答。例如设兔有X只，则鸡有（7－X）只，可列方程 ：4X＋2(7－X)=18，解得X=2，于是鸡有：7－2＝5（只）。方程解法思路比较简单，且具有一般性，教学中要突出方程解法的优越性，不断渗透方程思想。
以上是"鸡兔同笼"问题的各种解法中蕴含的主要的数学思想方法，从上述讨论中看出一种解法中可以蕴含不同的数学思想，而不同解法中可以蕴含同一种数学思想。教师应该根据不同年级学生的特点来合理地选择重点渗透的数学思想方法，使学生受到数学思想方法的熏陶，发展学生的思维能力和解决问题的能力，使"鸡兔同笼"这个传统的数学趣题在新课程背景下焕发出新的夺目的光彩。
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鸡兔同笼问题 要点就是1只鸡2条腿 1只兔4条腿
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