Question

x的三分之一次方求导数 用导数的定义求解 求推导过程

Answer 1

y=x^(1/3)

那么：

y'=lim(dx->0) [(x+dx)^(1/3) -x^(1/3)] /dx

注意由立方差公式可以得到：

(x+dx)^(1/3) -x^(1/3)

=(x+dx -x) / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]

=dx / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]

所以：

y'=lim(dx->0) 1 / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]

代入dx=0

得到：

y'= 1 /[x^(2/3) +x^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]

=1/3 *x^(-2/3)

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

Answer 2

y=x^(1/3)
那么
y'=lim(dx->0) [(x+dx)^(1/3) -x^(1/3)] /dx
注意由立方差公式可以得到
(x+dx)^(1/3) -x^(1/3)
=(x+dx -x) / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
=dx / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
所以
y'=lim(dx->0) 1 / [(x+dx)^(2/3) + (x+dx)^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
代入dx=0,
得到
y'= 1 /[x^(2/3) +x^(1/3)*x^(1/3) +x^(2/3)]
=1/3 *x^(-2/3)