Question

高三数学题。急急急，在线等，拜托各位了。~~

函数f(x)=-x^3+x, g(x)=mf(x)+f'(x)在x∈[0,2)上最大值为1，求实数m的取值范围。
我会算到f(x)恒过（0,1）点，则g(x)≤1在x∈（0,2]上恒成立，则-mx^2-3x+m≤0在x∈（0,2]上恒成立，请帮我写后面的详细过程，谢谢。

Answer 1

解：
f(x)=-x³+x
f'(x)=-3x²+1

g(x)=mf(x)+f'(x)
g(x)=-mx³-3x²+mx+1
可知，当x=0时，g(x)=1，此时为最大值。
所以当x∈[0,2)上g(x)必须满足g(2)≤1，并且g(x)为凹的，即g''(x)＞0
当m=0时，g(x)=1满足要求
当m≠0时
g(2)=-8m-12+2m+1≤1
-6m≤12
m≥-2

g'(x)=-3mx²-6x+m
g''(x)=-6mx-6＞0 x∈[0,2)
mx＜-1
m＜-1/x
m＜-1/2

解得-2≤m＜-1/2,或m=0