Question

如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠

如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F 。

问 当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论 。

不好意思 图传不了 。

Answer 1

如果四边形AECF是矩形，那么O肯定是AC的中点，很简单，因为O是矩形的两条斜边的交点。
所以可以给出假设：当O为AC的中点时，该结论成立：
证明过程（电脑书写不便，以文字叙述为主）：
（思路----考虑到角平分线的性质，即平分角，所以标出题目中与证明有关重要的相等的角）
角ACE等于角BCE，由于MN平行BC，所以又有角BCE等于角FEC；
联系上面两个角相等关系，有ACE=FEC；
所以三角形COE为等腰三角形，所以EO=OC；
同理可得，FO=OC；
所以EO=0C=OF；
联系前面的假设，O为AC的中点，所以有EO=0F=0C=OA，所以四边形AECF是矩形；
故假设成立，结论得证。

Answer 2

解：（1）OE=OF
理由是：∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCE
∵∠ACE=∠BCE∴∠OEC=∠ACE
∴OE=OC
同理OF=OC
∴OE=OF
（2）当O在AC的中点是，四边形AECF是矩形
理由是：∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵OA+OC=OE+OF
即AC=EF
∴四边形AECF是矩形
（用有一角是直角的平行四边形是矩形亦可）

Answer 3

解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

Answer 4

由题∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCD (角平分线），所以2∠ACE+2∠ACF=180，所以∠ECF=90,即EC⊥CF。又AECF为矩形，有AF⊥CF，所以EC‖AF，得∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠FEC。结合MN‖BC，∠FEC=∠ECB=∠ACE(内错角，角平分线）。所以∠FAC=∠ACE=∠AFE，即OF=OA。同理可证OF=OC，所以OA=OC，即四边形AECF是矩形时，O为AC的中点。

Answer 5

O点运行到AC的中点的时候，四边形AECF是矩形。