Question

高一数学题（要有详细的解答过程）

1.若tanX=2a/(a²-1),其中0<a<1,X是三角形的一个内角，则cosX的值为（）
A.2a/(a²+1) B.(1-a²)/(a²+1)
C.(a²-1)/(a²+1) D.±(a²-1)/(a²+1)
2.若cos(π/6+θ)=三分之根号三，则cos(5π/6-θ)=???
3.已知sin(π-α)-cos(π+α)=三分之根号二(π/2<α<π)，求：
（1）：sinα-cosα
（2）：[sin(2π-α)]×[sin(2π-α)]×[sin(2π-α)]+[cos(2π-α)]×[cos(2π-α)]×[cos(2π-α)]的值
4.若cos(π/2+φ)=二分之根号三，且φ的绝对值=π/2,则tanφ等于???

Answer 1

(1)
x是三角形的一个内角所以0＜x＜π
已知：tanx=2a/(a²-1)
因为0＜a＜1 ,
所以2a/(a²-1)，分子大于0，分母小于0。
即tanx＜0,所以得出π/2＜x＜π，是一钝角
那么cosx＜0
cosx
=|(a²-1)/√[(2a)²+(a²-1)²]|
=|(a²-1)/√(4a²+a^4-2a²+1)|
=|(a²-1)/√(a²+1)²|
=|(a²-1)/(a²+1)|
因为a²-1＜0
所以cosx=(a²-1)/(a²+1)
所以选择C

（2）
因为cosx是偶函数
所以cos(5π/6-θ)=cos(θ-5π/6)
根据诱导公式cos（π＋α）＝－cosα
那么cos(5π/6-θ)=cos(θ-5π/6)=-cos(π+θ-5π/6)=-cos(π/6+θ)=-√3/3=负三分之根号三

(3)
①
sinα=-sin(-α)=-[-sin(π-α)]
所以sin(π-α)=sinα
根据诱导公式得
cos(π+α)=-cosa
所以sinα-cosα=sin(π-α)+cos(π+α)
已知：sin(π-α)-cos(π+α)=√2/3
等式两边取平方得
[sin(π-α)-cos(π+α)]²=4/9
sin²(π-α)-2sin(π-α)cos(π+α)+cos²(π+α)=4/9
1-2sin(π-α)cos(π+α)=4/9
2sin(π-α)cos(π+α)=5/9

[sin(π-α)+cos(π+α)]²
=sin²(π-α)+2sin(π-α)cos(π+α)+cos²(π+α)
=1+2sin(π-α)cos(π+α)
=1+5/9
=14/9
sin(π-α)+cos(π+α)=±√14/3
sinα-cosα=sin(π-α)+cos(π+α)=±√14/3
π/2<α<π
sinα＞0，cosα＜0
所以sinα-cosα＞0
得出sinα-cosα=√14/3 （三分之根号十四）
②
由第一问得
2sin(π-α)cos(π+α)=5/9
-sinαcosα=5/18
sinαcosα=-5/18

sin(2π-α)=-sina
cos(2π-α)=cosa

[sin(2π-α)]×[sin(2π-α)]×[sin(2π-α)]+[cos(2π-α)]×[cos(2π-α)]×[cos(2π-α)]
=(-sinα)×(-sinα)×[(-sinα)+cosα]×cosα×cosα
=cos³α-sin³α
=(cosα-sinα)[cos²α+cosαsinα+sin²α]
=(cosα-sinα)(1+cosαsinα)
=(√14/3 )(1-5/18)
=(√14/3 )(13/18)
=(13√14)/54

(4) 应该是φ的绝对值小于π/2吧？
若cos(π/2+φ)=二分之根号三，且φ的绝对值小于π/2,则tanφ等于

因为φ的绝对值小于π/2
即-π/2＜φ＜π/2
根据诱导公式
cos（π/2+φ）＝-sinφ
得出sinφ=-√3/2
φ=-π/3
tanφ=tan(-π/3)=-tanπ/3=-√3

Answer 2

1.C
2.cos(5π/6-θ)=cos[π-(π/6+θ)]=-cos(π/6+θ)=负三分之根号三
3.sin(π-α)-cos(π+α)=sinα+cosα=(sqr2)/3
(sinα+cosα)^2+(sinα-cosα)^2=2
sinα-cosα=4/3或-4/3
因为π/2<α<π sinα-cosα>0 所以sinα-cosα=4/3
（2）原式=sin^3+cos^3=(sinα+cosα)*(sinα^2-sinαcosα+cosα^2)=(sqr2)/3*(1+7/18)=25sqr2/54