Question

设g(x)在x0处连续，f(x0)=0，则lim x趋向于x0 f(x)g(x)=0,为什么不对，举反例

Answer 1

因为f（x）在点x0处不一定连续，只有当f（x）在x0处连续时，该点极限值才能等于函数值。

以下是反例，比如f（x）为分段函数，在x=0这个点f（x）=0，在x≠0这个点f（x）=1，设g（x）=1，则lim x趋于0 f（x）g（x）=1。

例子

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

绝对值函数也是连续的。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

Answer 2

因为f（x）在点x0处不一定连续，只有当f（x）在x0处连续时，该点极限值才能等于函数值。以下是反例，比如f（x）为分段函数，在x=0这个点f（x）=0，在x≠0这个点f（x）=1，设g（x）=1，则lim x趋于0 f（x）g（x）=1。

Answer 3

显然是错的，举个反例即可

Answer 4

因为0乘以无穷大，不定等于0。
比如g（x）=sinx，f（x）=1/x，x0=0
lim x趋向于x0 f(x)g(x)=1
因为sinx和x在0处是等价无穷小，比值为1

Answer 5

引用三人功夫的回答：
因为0乘以无穷大，不定等于0。
比如g（x）=sinx，f（x）=1/x，x0=0
lim x趋向于x0 f(x)g(x)=1
因为sinx和x在0处是等价无穷小，比值为1

f(x0)=0，x0=无穷大，lim x趋向于x0，sin x和x不是等价无穷小了。