Question

求助高一数学必修4一道数学题！~！ 紧急紧急！！！！！

已知定义域为R的函数f(x)满足
1.对任意的x,y属于R,恒有f(x-y)+f(x+y)=2f(x)f(y)
2.f(0)不等于0

（1）求证：f(x)是偶函数
（2）求证：f(2x)=2f^2(x)-1
（3）若存在正数a,使f(a)=0,求证：
1.对任意实数x,恒有f(x)+f(x+2a)=0
2.f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期

Answer 1

（1）令x=y=0，则由性质一有f(0-0)+f(0+0)=2f(0)f(0)，即2f(0)=2f(0)^2
因为f(0)不等于0，所以f(0)=1；
再令x=0，则对任意的实数y都有f(0-y)+f(0+y)=2f(0)f(y)即f(-y)+f(y)=2f(y)，移项有f(-y)=f(y)，所以f(x)是偶函数
（2）令x=y则有f(x-x)+f(x+x)=2f(x)f(x)即f(2x)+1=2f(x)^2，即f(2x)=2f^2(x)-1
（3）1、令y=a则有f(x-a)+f(x+a)=2f(x)f(a)，因为f(a)=0，则f(x-a)+f(x+a)=0，用x+a替换该式中的x，则有f(x+a-a)+f(x+a+a)=0即f(x)+f(x+2a)=0；
2、因为f(x)+f(x+2a)=0，则有f(x)=-f(x+2a)（1式），用x+2a替换该式中的x
则有f(x+2a)=-f(x+2a+2a)即f(x+2a)=-f(x+4a)（2式）；
由1式和2式可得f(x)=-f(x+2a)=-(-f(x+4a))，即f(x)=f(x+4a)，所以f(x)是周期函数，且4a为周期

Answer 2

（1）先令x＝0,y＝0。得到f(0)＝1。
然后令原方程中的x＝0,得到f(-y)+f(y)＝2f(0)f(y)，从而得到f(-y)＝f(y)
（2）令原方程中的y＝0，把f(0)＝1代入，即可得到f(2x)=2f^2(x)-1
（3）
1、原方程左边化为：f(x)+f(x+2a)＝f（x+a-a）+f（x+a+a）＝2f(x+a)f(a)
因为f(a)＝0，所以f(x)+f(x+2a)＝0，得证。
2、用同样的方法拆一下。f(x+4a)＝f(x+3a+a)＝2f(x+3a)f(a) - f(x+2a)
因为 f(x+2a)＝ - f(x)而且f(a)=0。所以f(x+4a)＝f(x)。
即f(x)是周期函数，且4a是f(x)的一个周期。
解答完毕，还有什么不懂的可以问我。留下你的联系方式就好了。

Answer 3

（1）令x=y=0，则由性质一有f(0-0)+f(0+0)=2f(0)f(0)，即2f(0)=2f(0)^2
因为f(0)不等于0，所以f(0)=1；
再令x=0，则对任意的实数y都有f(0-y)+f(0+y)=2f(0)f(y)即f(-y)+f(y)=2f(y)，移项有f(-y)=f(y)，所以f(x)是偶函数
（2）令x=y则有f(x-x)+f(x+x)=2f(x)f(x)即f(2x)+1=2f(x)^2，即f(2x)=2f^2(x)-1
（3）1、令y=a则有f(x-a)+f(x+a)=2f(x)f(a)，因为f(a)=0，则f(x-a)+f(x+a)=0，用x+a替换该式中的x，则有f(x+a-a)+f(x+a+a)=0即f(x)+f(x+2a)=0；
2、因为f(x)+f(x+2a)=0，则有f(x)=-f(x+2a)（1式），用x+2a替换该式中的x
则有f(x+2a)=-f(x+2a+2a)即f(x+2a)=-f(x+4a)（2式）；
由1式和2式可得f(x)=-f(x+2a)=-(-f(x+4a))，即f(x)=f(x+4a0

Answer 4

(1)令x=y=0得f(0-0)+f(0+0)=2f(0)f(0)即f(0)=1；
令x=0得f(0-y)+f(0+y)=2f(0)f(y)即f(y)=-f(-y);
所以f(x)是偶函数。
（2）令x=y得f(x-x)+f(x+x)=2f(x)f(x)即f(2x)+f(0)=2f^2(x);
又f(0)=1得f(2x)=2f^2(x)-1
（3）令x=x+a,y=a即可证明；
（4）由对任意实数x,恒有f(x)+f(x+2a)=0,又因为f(x)是偶函数，
知f(x)=-f(x+2a)=f(x+2a)；所以周期为2a,所以4a也是它的周期。

Answer 5

我读高中的时候就见过这两题了。。。没想到现在还在