Question

证明一个不等式

已知a，b是非负实数，求证a^3+b^3>=根号里ab乘以（a^2十b^2），说明一下不用作差法呵，我会作差，换其它方法。先谢了。请大师讲一下不等式证明的心得。
谁还能再找几种法么？凑够5种.哈

Answer 1

a,b非负
所以a^5-b^5与a-b同号
（a^5-b^5）（a-b）>=0
a^5(a-b)>=b^5(a-b)
a^6+b^6>=a^5b+ab^5
a^6+b^6+2a^3b^3>=a^5b+ab^5+2a^3b^3
(a^3+b^3)^2>=ab(a^4+b^4+2a^2b^2)
a^3+b^3>=根号里ab乘以（a^2十b^2）

Answer 2

a^3+b^3=（a+b)(a^2十b^2-2ab)
a^2十b^2>=2ab
则a^3+b^3=（a+b)(a^2十b^2-2ab)>=根号里(ab)平方乘以（a+b)平方

Answer 3

由契比雪夫不等式，得
a^3+b^3>=1/2(a+b)(a^2+b^2)>=根号ab乘以（a^2十b^2）