Question

已知椭圆C方程为，若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA PB分别交

已知椭圆C方程为，若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA PB分别交椭圆C于另外两点A B，（1）求证：直线AB的斜率为定值 （2）求三角形PAB的最大值
求详解！！！！！！尤其是第一问 谢谢！！！

Answer 1

椭圆方程是标准方程否？就按这么算。
（1）设P(1,p)，A(x1,y1)，B(x2,y2)
1/a^2+p^2/b^2=1，p^2=b^2-b^2/a^2
设PA斜率是k，则PB斜率是-k
则PA:y=k(x-1)+p,PB:-k(x-1)+p
分别与椭圆方程联立，得
x1^2/a^2+(kx1-k+p)^2/b^2=1
(k^2a^2+b^2)x1^2+2a^2k(p-k)x1+a^2(p-k)^2-a^2b^2=0
1是方程的一个根，根据韦达定理得
x1=a^2[(p-k)^2-b^2]/(k^2a^2+b^2)
同理得x2=a^2[(p+k)^2-b^2]/(k^2a^2+b^2)
x2+x1=2a^2(p^2+k^2-b^2)/(k^2a^2+b^2)
x2-x1=4a^2pk/(k^2a^2+b^2)
AB斜率(y2-y1)/(x2-x1)=-k(x2+x1-2)/(x2-x1)
=-2k(p^2a^2-a^2b^2-b^2)/4a^2pk
=-(p^2-b^2-b^2/a^2)/2p
=b^2/pa^2

（2）设AB:y=b^2x/pa^2+m
与椭圆联立，得x^2/a^2+(b^2x/pa^2+m)^2/b^2=1