Question

数学 关于圆锥

已知圆锥底面半径为R 母线半径为3R 底面圆周长上有一点A 从A出发沿圆锥锥面运动一周后又回到原出发点求运动的最短路程？

Answer 1

1.已知点Q（2√2,0）及抛物线x^2=4y上一动点p（x,y），则y+｜PQ｜的最小值是？
解：设y+|PQ|=d（d≥0)，则|PQ|=d-y,|PQ|²=（d-y)²=d²+y²-2dy，即
y²+x²+8-(4√2)y=d²+y²-2dy，整理得x²-（4√2-2d)y+8-d²=0。由抛物线方程x²=4y得y=x²/4,把y=x²/4代入x²-（4√2-2d)y+8-d²=0得x²-（2√2-d)x²/2+8-d²=0，（1-√2+d/2）x²+8-d²=0，因为x为实数，所以(1-√2+d/2)(8-d²)≤0，解不等式组1-√2+d/2≥0，
8-d²≤0，
和1-√2+d/2≤0，
8-d²≥0，得
d≤-2√2(不合题意，舍去）和d≥2√2。所以y+｜PQ｜的最小值是d=2√2。

2.设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A，B两点，与抛物线的准线相交与C，｜BF｜=2，则△BCF与△ACF所成的面积之比为？
解：抛物线y²=2x的焦点F（1/2,0),准线为x=-1/2.设过点M(√3,0)的直线方程y=k(x-√3),点B的坐标为B(x′，y′），则有
y′=k(x′-√3），①
y′²=2x′， ②
y′²+（x′-1/2)²=4。③
解方程组的过程如下：
把②代入③得x′²+x′-15/4=0,(x′+5/2)(x′-3/2)=0,x′=-5/2或x′=3/2,其中x′=-5/2不合题意。
把x′=3/2代入②得y′²=3，y′=√3或y′=-√3。
点B的坐标为B(3/2,√3)或B(3/2,-√3)。
下面取B(3/2,√3)一种情况进行探讨：
把x′=3/2和y′=√3代入①得k=√3/(3/2-√3），
把k=√3/(3/2-√3）代入y=k(x-√3),得y=(√3x-3）/(3/2-√3），
直线y=(√3x-3）/(3/2-√3）与直线x=-1/2的交点的横坐标为x=-1/2，
把x=-1/2代入y=(√3x-3）/(3/2-√3）得y=(-√3/2-3）/(3/2-√3）
=(√3/2+3）/(√3-3/2）=(√3/2+3）(√3+3/2）/(3/4）=(6+15√3/4)/(3/4）
=4(2+5√3/4)=8+5√3。所以点C的坐标为C(-1/2,8+5√3）。
下面求点A的坐标(取其中一种情况)：
把y=(√3x-3）/(3/2-√3）代入y²=2x得[(√3x-3）/(3/2-√3）]²=2x,即（3x²-6√3x+9)/(21/4-3√3）=2x,3x²-6√3x+9=6(7/4-√3)x,
x²-2√3x+3=2(7/4-√3)x，x²-7x/2+3=0,x=2或x=3/2(点B的横坐标为3/2,故取2为点A的横坐标)。
把x=2代入y=(√3x-3）/(3/2-√3）得y=(2√3-3）/(3/2-√3）
=(2√3-3）(3/2+√3）/(-3/4）=4(3-2√3)(3/2+√3）/3=(-6)/3=-2。所以点A的坐标为A（2，-2）。
△BCF与△ACF的高相等，底在同一条直线上，所以它们的面积的比等于它们底边的比,它们底边的比又等于B,C两点的横坐标与点C的横坐标之差的比，也等于B,C两点的纵坐标与点C的纵坐标之差的比。即（3/2+1/2)/(2+1/2)=4:5。[或者（√3-8-5√3):(-2-8-5√3）=（8+4√3）：(10+5√3）=4：5]。
（由于图像的对称性，根据另外一种情况得出的结果会和上面相同。）

Answer 2

把圆锥侧面展开成一个扇形，扇形上圆弧的两个端点连起来就是最短路径，算出扇形的圆心角是120度（弧长即底面周长=2πR，扇形半径即母线=3R，所以圆心角=2πR/3R=2π/3)，最短路径就是3R乘以根号3。

Answer 3

把底面忽略，将圆锥沿着一条母线剪开，得到一个半径为3R的扇形，扇形的弧长即原圆锥的底面周长2*pi*R，求得扇形的圆心角为三分之二pi即120°。最后最短路径为3根号三R。

Answer 4

弧长=nπR/180
此题的R是3R
代人：nπ3R/180=2πR得n=120
最短路程是展开扇形所对的弦长，有勾股定理的路程=3根号下3乘R