微分方程问题
用降阶法求微分方程满足所给初值条件的特解xy''=y'ln(y'/x).算出来的答案有4个任意常数，而所给的方程是二阶方程，这怎么回事？...
用降阶法求微分方程满足所给初值条件的特解
x y'' = y'ln(y'/x). 算出来的答案有4个任意常数，而所给的方程是二阶方程，这怎么回事？ 展开
x y'' = y'ln(y'/x). 算出来的答案有4个任意常数，而所给的方程是二阶方程，这怎么回事？ 展开
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二阶方程只能是有2个独立的积分常数。
解：设y'/x=t,则y''=xdt/dx+t
代入原方程得x(xdt/dx+t)=xt*lnt
==>xdt/dx+t=tlnt
==>xdt/dx=t(lnt-1)
==>dt/(t(lnt-1))=dx/x
==>d(lnt)/(lnt-1)=dx/x
==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C1│ (C1是积分常数，且C1≠0)
==>lnt-1=C1x
==>lnt=C1x+1
==>t=e^(C1x+1)
==>y'/x=e^(C1x+1)
==>y'=xe^(C1x+1)
∴y=∫xe^(C1x+1)dx
=(x/C1)e^(C1x+1)-(1/C1)∫e^(C1x+1)dx
=(x/C1)e^(C1x+1)-(1/C1)²e^(C1x+1)+C2 (C2是积分常数)。
解：设y'/x=t,则y''=xdt/dx+t
代入原方程得x(xdt/dx+t)=xt*lnt
==>xdt/dx+t=tlnt
==>xdt/dx=t(lnt-1)
==>dt/(t(lnt-1))=dx/x
==>d(lnt)/(lnt-1)=dx/x
==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C1│ (C1是积分常数，且C1≠0)
==>lnt-1=C1x
==>lnt=C1x+1
==>t=e^(C1x+1)
==>y'/x=e^(C1x+1)
==>y'=xe^(C1x+1)
∴y=∫xe^(C1x+1)dx
=(x/C1)e^(C1x+1)-(1/C1)∫e^(C1x+1)dx
=(x/C1)e^(C1x+1)-(1/C1)²e^(C1x+1)+C2 (C2是积分常数)。
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