Question

已知不等式|2x-4|+|3x+3|+2|x-1|+2a-3＜0的解集非空，则实数a的取值范围为

Answer 1

先说一句，楼上fly698的回答是完全错误的。并不是说只要左边的绝对值不小于零就一定有解，那我举个反例，|x|+|x-1|≤0是不是一定有解呢？很明显没有，因为左边的左边的绝对值取了0的话，右边的绝对值一定不为0，他们是不会同时同时取0的！所以楼上那个只是必要条件，并不是等价条件！“原式等价于”这句话就无从谈起了。同样在这里面，左边的三个绝对值加起来并不能取到0，即便等于0都无解，更何况小于0！所以a的取值范围应该比楼上a<3/2 的要小！不是只要求3-2a>0就可以了，还要大于那些绝对值的最小值（注意：不是0！），这样才可能有解。以下即求那些绝对值之和的最小值：
对于这种求最值，没什么好一点的方法，只能是分区间讨论
x<-1时，为3-7x；
-1<x<1时，为9-x；
1<x<2时，为3x+5；
x>2时，为7x-3。
不难发现，三个绝对值之和在(-∞,1)是递减的，而在(1,+∞)是递增的
∴最小值在x=1处取到，此时绝对值之和为8
∴要求3-2a>8
即a<-2.5

Answer 2

由于绝对值不小于零,原式等价于求使2a-3<0成立的a的取值范围:a<3/2