Question

设f(x),g(x)是数域F上的多项式，证明：若（f(x),g(x)）=1,则（f(x)g(x)，f(x)+g(x)）=1

Answer 1

存在多项式u,v使得uf+vg=1
容易验证
[-(u-v)^2]fg + [v+u(u-v)f](f+g)=1

直接看因子分解也可以，如果fg和f+g的最大公因子是d，对d做因子分解，可以不妨设d=d1d2，其中d1是f的因子，d2是g的因子，那么d1和d2都整除f+g，得到d1,d2都是1或-1

追问

这个验证过程……您能大致写一下嘛……

追答

只有uf+vg=1这一个条件，所以过程当中碰到高次项都用这个条件去降次