Question

请好人帮我讲讲线性代数“方阵的特征值和特征向量”里面的基础解系究竟怎么具体出来？

我看了教科书的3阶的方阵例题，看不明白！而且发现当有2个相同的特征值时，其基础解系又不一样！请好人帮我详细讲讲

Answer 1

我们课本最常见的就是三阶，而且考试也以三阶为主，我就给你用三阶的举例说明吧
三阶方阵A求特征向量，特征值的方法：
1，先求特征多项式|λE-A|=0 解出特征值λ1，λ2，λ3
特征值一定有三个（因为三阶，或许会有两重根(λ1=λ2)，但重某种意义上说也是三个）。
2，把特征值代入特征方程(λiE-A)X=0求特征向量
case1.把单根的特征值代入特征方程(λiE-A)X=0，肯定并且只能解出一个特征向量。
case2.把重根（两个相等的根）代入特征方程(λiE-A)X=0求特征向量的个数看R(λiE-A)：
当R(λE-A)=2时，特征方程(λiE-A)X=0有一基础解系；（基础解系的个数就是阶数减去秩）。
当R(λE-A)=1时，特征方程(λiE-A)X=0有两基础解系（注意这两个基础解系一定线性无关)。
至此应该有你要的答案了。我再往后说一点。
考试往往不是简单的求解特征值，特征向量。很多情况是让你判断它能否对角化。
我们知道实对称矩阵一定可以对角化。但对于一般的矩阵呢（就如上面说的这个），如何判断它能否对角化呢？通过上面的两步以后，我们接下来看第三步。
3.，如果第二步中解出三个单根，则一定可以对角化。
如果第二步中出现二重根，我们只看case2的情况（case1不管），
当R(λE-A)=1时，特征方程(λiE-A)X=0有两基础解系，则矩阵A可以对角化
即存在可逆矩阵P，有P^(-1)AP=∧
当R(λE-A)=2时，特征方程(λiE-A)X=0有一基础解系，则矩阵A一定不可对角化。

体会到了吗？可对角化必须有三个线性无关的特性向量。还有就是不同特征值的特征向量一定线性无关。

Answer 2

特征值相同，不一定有相同的特征向量